CHAPITRE m. — PLANS TANGENTS AUX CYL. ET AUX CONES 5g

cales QR', SV\ s'obtiendront facilement au moyen des arêtes de contact qui seront (PR, P'R') pour lun des plans, et (TV, T'V) pour 1 autre. Ici les deux plans tangents seront évidemment parallèles entre eux , et par suite leurs traces verticales devront aussi se trouver parallèles l'une à l'autre.

118. Observons, en terminant ces problèmes sur les cylindres, qu'on ne pourrait pas exiger qu'un plan fût tangeut à une telle surface et passât eu même temps par une droite donnée. Car, par cela seul qu'un plan touche un cylindre en un point, il est, comme on l'a vu n"* 99, nécessairement tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point ; de sorte que cette première condition en renferme implicitement deux, d'après lesquelles le plan cherché doit jouir du contact en deux points de la surface : puis, si on y joint l'obligation de passer encore par une droite ou par deux points donnés en dehors, cela formera quatre conditions distinctes , tandis que trois suffisent pour déterminer la position d'un plan. Cependant, si la droite donnée était parallèle aux arêtes du cylindre, cela reviendrait à n'assigner qu'un seul point, et le problème rentrerait dans celui du u° 116.

119. Par un point donné sur une surface conique, on propose de lui mener un plan tangent.

Soit AGBD la courbe directrice que nous supposons située dans le plan hori- Fjg. 4 1 zontal, et (S, S') le sommet du cône; nous commencerons par déterminer le contour apparent de cette surface sur le plan horizontal, en cherchant (n° 106) tous les plans tangents qui peuvent être verticaux. Or, un tel plan ayant pour trace horizontale la projection même de la génératrice qu'il renferme, cette trace passera par le point S; puis, comme elle doit toucher la base, attendu qu'ici encore le contact du plan tangent a lieu (n° 100) tout le long d'une génératrice, on en conclura que les tangentes SA et SB, menées du point S, sont les traces des plans tangents verticaux , et que ceux-ci touchent le cône suivant les deux arêtes (SA, S'A') et (SB, S'B') , lesquelles forment le contour apparent de la surface conique relativement au plan horizontal. De sorte que toute génératrice qui sera au-dessous de celles-là , c'est-à-dire qui aboutira dans la portion ADB de la base , se trouvera invisible sur le plan horizontal.

Quant au contour apparent sur le plan vertical, il sera donné par les plans tangents au cône qui se trouveront perpendiculaires à ce plan de projection (n** 106); ainsi, les traces horizontales de ces plans devant être perpendiculaires à la ligne de terre , et tangentes (n" 100) à la base ACBD, seront les droites GC et DD'. D'ailleurs, puisque ces plans toucheront évidemment le cône suivant les génératrices (GS, G' S') et (DS, D'S'), il s'ensuit que ces deux droites formeront

6o LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.

le contour apparent de la surface projetée sur le plan vertical ; et par conséquent toute arête qui se trouvera eti arrière de ces droites , ou qui aboutira dans la portion CAD de la base, sera invisible en projection verticale.

120. Revenons maintenant au problème primitif, et supposons que M soit la projection horizontale du point donné. L'autre projection ne doit pas être prise arbitrairement ; car, puisque le point en question appartient à la surface , il doit se trouver sur une certaine génératrice qui ne peut être projetée horizontalement que suivant SM ; cette droite aura donc pour trace horizontale le point E ou le point G, et dès lors sa projection verticale sera S'E' ou S' G'. Donc, si l'on y rapporte la projection M par une perpendiculaire à la ligne de terre, on obtiendra pour le point assigné les deux solutions (M, M') et

p / 121. Gela posé, construisons le plan tangent pour lé premier de ces deux

points. Ce plan renfermera la génératrice (SE, S'E') et touchera le cône tout le long de cette droite (n° 100); par conséquent, il aura pour trace horizontale la tangente PEQdela base. Quant à sa trace verticale, elle devra passer par le point (F, F') où l'arête de contact va percer le plan vertical, et par le point Q où la trace PE irait couper la ligne de terre : mais comme ce point Q se trouve ici hors du cadre, on y suppléera en imaginant, par le point (M, M' ) et dans le plan tangent cherché, une horizontale (MX, M'X') qui va percer le plan vertical en X', et fournit ainsi un nouveau point de la trace demandée QX'F.

De même, pour le point (M, M" ), l'arête de contact étant (SG, S'G'), la tangente GV sera la trace horizontale du plan tangent actuel ; et sa trace verticale VF" se déterminera en cherchant le point F" où l'arête de contact (GS, G'S') va percer le plan vertical : ou bien, comme précédemment, on se servira d'une horizontale ( MY, M" Y' ) située dans le plan tangent qui nous occupe.

122. Observons ici que les deux plans tangents que nous venons de déterminer, renfermant chacun une génératrice du cône , passeront tous les deux par le sommet (S, S' ) ; d'où il résulte que si l'on construit (n° 27 ) leur intersection qui est projetée suivant PR et P'R', il devra arriver que la première de ces lignes passe par S et lautre par S', ce qui fournira une vérification des constructions antérieures. D'ailleurs, les traces verticales devront toucher en F' et F" la courbe suivant laquelle le cône est coupé par le plan vertical, courbe qui se construira en cherchant les points où les diverses génératrices vont percer ce plan de projection.