CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS AUX CYL. ET AUX CONES. 6l

123. Mener un plan lancent à une surface conique par un point donné au dehors.

Soit encore ABC la base du cône et (S, S') le sommet; on déterminera, comme FiG. 42. ci-dessus, le contour apparent de la surface sur chacun des plans fixes, et nous représenterons par (N, N') le point assigné dans l'espace. Le plan tangent que ^

l'on cherche, devant contenir une génératrice, passera par le sommet (S, S'), et par suite il renfermera la droite (SN, S'N'); donc, en cherchant le pied (P, P') de cette droite, et en menant à la base les tangentes PEQ, PGV, ce seront les traces horizontales des deux plans tangents qui satisfont à la question. Quant aux traces verticales, on les déterminera par le moyen de la droite (SN, S'N') contenue dans les deux plans, ou bien parle secours des arêtes de contact de ces plans, lesquelles sont évidemment (SE, S'E') et (SG, S'G'). On pourrait encore employer une horizontale auxiliaire menée dans chaque plan par le point (N, N' ) , comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois.

124. Trouver un plan qui soit tangent à un cône et parallèle à une droite donnée.

Conservons les mêmes données que précédemment, et soit (mn, m'n') la pjç^ 42. droite à laquelle le plan tangent doit être parallèle. Gomme ce plan passera nécessairement par le sommet, si nous menons de ce point et parallèlement à ( mn , m'n' ) , la droite (SP, S' P' ) , cette dernière sera évidemment contenue dans le plan demandé ; par conséquent la trace ( P, P' ) de cette droite appartiendra à la trace horizontale du plan tangent , laquelle sera lune des deux tangentes PEQ, PGV menées à la base. Il y aura donc encore deux solutions, et les traces verticales de ces plans se détermineront comme au numéro précédent.

125. Puisque tout plan qui est tangent à une surface conique dans un point , touche nécessairement cette même surface tout le long d'une droite (n° 100), la remarque faite au n" 118 s'applique ici, et il en résulte qu'on ne saurait exiger qu'un plan soit tangent à un cône et passe en même temps par une droite ou par deux points donnés, à moins que la droite qui réunirait ces deux points , ne passât elle-même par le sommet ; car alors cela reviendrait à n'assigner qu'un seul point (n° 125).

En terminant ce chapitre, nous ajouterons quelques problèmes dont nous indiquerons seulement les moyens de solution.

126. Par une droite donnée, mener un plan qui fasse avec le plan horizontal un atigle déterminé a. D'un point quelconque de la droite on abaissera sur le plan horizontal une perpendiculaire et une oblique, en dirigeant celle-ci parallèlement au plan vertical, et de manière que sa projection sur ce dernier plan

forme l'angle a avec la ligne de terre. Alors, en imaginant que cette oblique tourne autour de la verticale, elle décrira un cône droit dont la trace horizontale sera un cercle bien facile à déterminer, et dont toutes les arêtes se trouveront aussi inclinées sur Thorizon d'une quantité angulaire a; par conséquent, si l'on mène à ce cône un plan tangent passant par la droite donnée , ce qui rentre ici dans le problème du n° 123, on obtiendra évidemment un plan qui satisfera aux conditions assignées par la question.

127. Mener à un cjdindre donné, un plan tangent dont l'inclinaison sur le plan horizontal soit a. On construira , comme dans le problème précédent , un cône de révolution dont les arêtes fassent l'angle a avec le plan horizontal ; puis, en tirant par le sommet une droite parallèle aux génératrices du cylindre, et faisant passer par cette droite un plan tangent au cône (n° 125) , il restera à mener au cylindre un plan tangent parallèle à celui-là ; problème qui se résoudra, comme au n° 117, en menant à la base du cylindre une tangente parallèle à la trace horizontale du plan qui touchait le cône. On sent bien que le problème deviendra impossible lorsque la parallèle, menée par le sommet du cône auxiliaire , aboutira dans l'intérieur de sa base.

Si l'on proposait la même question pour un cône défini par une base quelconque, il faudrait modifier la solution en prenant pour sommet du cône de révolution le point même qui sert de sommet à la surface conique assignée par le problème; ensuite, on devrait mener une tangente commune aux bases de ces deux cônes, et ce serait la trace horizontale du plan demandé.

128. Par un point donné, mener une droite qui soit tangente à une surface conique et parallèle à un plan donné. On construira d'abord un plan qui touche le cône et qui passe par le point qu'assigne la question ; ensuite, on coupera ce plan par un autre mené du même point et parallèlement au plan donné : alors l'intersection des deux plans ainsi construits, fournira évidemment une droite qui satisfera à la question. ;