CHAPITRE IV

Des plans tamjents aiix surfaces de révolution , lorsque le point de contact

est donné.

129. Puisque par chaque point M pris sur une surface de révolution Fig 43 (n 7o), il passe toujours un méridieu AMD et un parallèle FMG, si Ion construit les tangentes MT et iMV à ces courbes, et que l'on mène un plan par ces deux droites, ce sera (n° 105) le plan tangent de la surface en M. Or la tangente MV, située dans le plan du cercle FMG, est évidemment perpendiculaire à la fois au rayon MO et à laxe AO; donc elle lest aussi au plan méridien AOM, et par suite le plan tangent qui contiendra MV, sera lui-même perpendiculaire sur ce méridien. Cette conséquence étant indépendante de la nature de la courbe AMD et de la position du point M, il en résulte ce théorème remarquable : Dans toute surface de révolution, le plan tangent est toujours perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact.

130. En menant au point M une normale MN à la surface, cette droite perpendiculaire au plan tangent, se trouvera nécessairement renfermée dans le plan méridien AMD ; donc , dans toute surface de révolution , la normale va rencontrer taxe.

Ml> Fft, t\.... qui répondent à un même parallèle. En effet, lorsque le plan mendien AMD tourne autour de laxe, en entraînant avec lui les droites MN et Ml la première ne cesse pas d'être perpendiculaire à lautre; en outre cette droite mobile MN , toujoui-s renfermée dans le plan méridien, se trouve ' comme celui-ci (a« 129) , perpendiculaire successivement à chaque tan,»entè MV du parallèle; donc MN est bien perpendiculaire à deux tangemes, et par conséquent normale à la surface, dans toutes les positions qu'elle occupe en tournant autour de laxe AD. D'ailleurs, puisque dans ce mouvement le point N de la normale MN reste immobile, il en résulte que toutes tes normales menées le long d'un même parallèle, forment toujours un cône dro.t dont le sommet est sur l axe ; mais ce sommet change en passant dun parallèle à un autre

Apres avoir fait remarquer ces propriétés générales et communes à toutes les surfaces de révolution, nous allons nous occuper de la construction du plan tangent. ^

131. Par un point donné sur une surface de révolution dont le méridien est connu, mener un plan qui soit tangent à cette surface.

FiG. 44- Pour simplifier les constructions, choisissons notre plan horizontal de manière qu'il soit perpendiculaire à l'axe de révolution : alors cette droite se trouvant verticale , elle sera projetée horizontalement en un point O, et verticalement suivant la droite O'Z'. Soit d'ailleurs A' B'D' la projection du méridien prmcipal , c'est-à-dire de celui qui est parallèle au plan vertical , et qui se trouve projeté horizontalement sur OB parallèle à la ligne de terre : ici ce méridien est une ellipse dont un des diamètres principaux coïncide avec l'axe de rotation, et par suite la surface sera un ellipsoïde de révolution (n° 79) ; mais les raisonnements et les constructions seraient entièrement semblables pour toute autre courbe méridienne. Le plus grand des parallèles, ou hien T équateur de la surface, est évidemment le cercle décrit par le demi-axe G'B' , lequel se projette horizontalement sur un cercle BKE égal au premier, et forme le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal (n° 106); en effet , tout le long de l'équateur (B'E', BKE) les plans tangents seront verticaux, puisque chacun renfermera la tangente du méridien, laquelle est une verticale comme B'B. Quant au contour apparent de la surface par rapport au plan vertical , ce sera le méridien principal (A'B'D'E', BE); car ce contour doit être formé (n° 106) par les points de contact de tous les plans tangents perpendiculaires au plan vertical : or les plans tangents le long de cette courbe méridienne sont (n° 129) tous perpendiculaires à son plan , et par suite au plan vertical de projection. Nous n'ajouterons pas ici d'autres positions de la génératrice pour figurer (n° 93) la forme de la surface , parce qu'elle est suffisamment indiquée par ce qui précède; mais nous verrons cependant plus loin (n° 137) la manière de construire les projections d'autant de courbes méridiennes que l'on voudrait en tracer.

132. Gela posé, soit M la projection horizontale du point donné sur la surface; il ne faudra pas prendre arbitrairement la seconde projection de ce point, puisqu'il doit être situé à la rencontre de la verticale M avec le méridien projeté suivant OK. Or, si l'on fait tourner celui-ci autour de l'axe (O, O'Z'), jusqu'à ce qu'il coïncide avec le méridien principal OB, il se trouvera alors projeté verticalement suivant A' B'D'; et comme par suite de ce déplacement la projection M aura décrit l'arc MO, on en conclura que la projection verticale du point cherché se trouve actuellement en G' ou en G". Maintenant, si l'on ramène le méridien mobile dans la position OK, le point en question, qui pendant ce mouvement ne changera pas de hauteur, restera projeté verticalement