CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURF. DE RÉVOLUTION

sur rhorizontale G' F' ou G" F"; d'où il suit évidemment que, dans sa position primitive , il était projeté verticalement en M' ou en M" ; ainsi , il y a sur la surface deux points (M, M') et (M, M") qui sont l'un et l'autre projetés horizontalement en M.

135. Considérons le premier (M, M') de ces points, et pour déterminer le FiG. 44plan tangent qui s'y rapporte, nous l'assujettirons (n° 103) à passer par deux tangentes de la surface , savoir : la tangente au méridien et la tangente au parallèle; mais comme la projection de la courbe méridienne relative au point (M, M') n'est pas donnée immédiatement, et qu'ainsi nous ne pouvons pas lui mener directement une tangente, nous rabattrons encore le plan vertical OMK sur le méridien principal OB. Par là le point (M, M') sera transporté en (G, G'), et il sera facile alors de construire la tangente G' H' qui viendra percer le plan horizontal au point H sur OB : puis , si l'on ramène le méridien mobile dans la position OMK, le pied H de cette tangente décrira évidemment un arc de cercle terminé en T, tandis que le point de contact G' reviendra en M' ; donc, en projetant le point Tsur la ligne de terre , on obtiendra M'T' et MT pour les projections de la tangente au méridien qui passe par le point (M, M'). Observons d'ailleurs que cette tangente prolongée doit rencontrer l'axe de la surface, au même point TJ où aboutissait la droite G' H'.

Quant au parallèle relatif à ce point (M, M'), il est évidemment projeté sur le cercle GMF et sur G' F'; par conséquent sa tangente est l'horizontale (MV, M'V) perpendiculaire au plan méridien OMK. Maintenant, le plan qui renfermera les deux tangentes ainsi déterminées , aura pour trace horizontale une droite TU passant par le pied T de la première tangente , et menée parallèlement à MV qui est une horizontale contenue dans ce plan tangent; puis, on aura la trace verticale UV de ce même plan, en construisant le point V où la droite (MV , M' V) va percer le plan vertical.

Le plan tangent relatif au point (M, M") s'obtiendra d'une manière analogue, en rabattant d'abord le point M" en G" sur le méridien principal, et menant à celui-ci la tangente G"I/. Ensuite le pied (L, L')de cette droite étant ramené dans le méridien OK , viendra en R ; et comme la tangente au parallèle est ici (MV, M"V"), les traces du plan tangent seront RS parallèle à MV, etSV".

134. Il est bon de remarquer que, d'après la direction de la tangente MV au parallèle, chaque plan taagent à une surface de révolution , aura toujours sa trace horizontale perpendiculaire à celle du plan méridien qui passe par le point de contact , du moins tant que l'axe de la surface sera vertical.

155. Observons encore que les deux plans tangents en (M, M') et (M, M"),

ayant leurs traces TU et RS parallèles, devront se couper suivant une horizontale ; et par suite de la symétrie de la surface actuelle , cette horizontale sera située dans le plan de Féquateur E'B'. En effet, comme les tangentes G' H' et G"iy à l'ellipse méridienne se rencontraient nécessairement en un point a situé sur l'axe de cette ellipse, ce point transporté en ê dans le méridien OK avec les deux tangentes , leur sera toujours commun , et restera dans le plan de l'équateur E'B' : donc l'horizontale qui est l'intersection des deux plans tangents , passera par le point ê ; et c'est aussi pour cette raison que les traces verticales de ces plans doivent se couper en un point P' situé sur la droite E'B'ê prolongée.

FiG. 44- 136. Pour obtenir la normale de la surface de révolution au point (M, M') , on se rappellera (n° 150) que toutes les normales, le long d'un même parallèle, vont couper l'axe au même point , et que d'ailleurs chacune est renfermée dans le plan méridien qui passe par le point de contact. Ainsi , après avoir rabattu sur le méridien principal le point M' en G', on tirera par ce dernier une droite G'N' perpendiculaire à la tangente G'H'; puis, en joignant le pied N' de cette normale avec le point donné M', on obtiendra la normale N' M' relative à ce dernier point. C'est là du moins sa projection verticale ; et quant à sa projection horizontale , elle tombe évidemment sur OM.

Observons ici que cette normale étant perpendiculaire au plan tangent TUV, les traces de ce dernier devront se trouver (n° 55) respectivement perpendiculaires aux droites OM et N'M'y ; ce qui offrira une vérification des constructions déjà effectue'es pour le plan tangent, ou même, si l'on veut, un moyen de trouver à priori ses traces , puisque alors il s'agirait de mener par un point connu (M, M') un plan perpeildiculaire à la droite (MO, M'N'), Voyez n 56.

157. On a vu (n° 152) qu'il était facile, en partant de la projection horizontale M d'un point de la surface , de conclure la projection verticale M' ou M" : si donc on applique le même procédé à divers points K, M, Q,.... pris dans le plan méridien OK, on pourra ainsi construire la projection verticale de la courbe méridienne renfermée dans ce plan , et cette courbe devra être tangente aux droites Ï'M' et R'M" ; puis, en répétant la même opération pour d'autres plans méridiens que OK , on obtiendrait autant de positions que l'on voudrait de l'ellipse mobile A'B'D', ce qui servirait à compléter la représentation graphique de la surface.

C'est aussi par des opérations analogues, qu'étant données les projections d'une génératrice quelconque d'une surface de révolution, on en conclurait