CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURF. DE RÉVOLUTION. 6l

facilement le méridien principal , ou toute autre section méridienne. On pourra se proposer, comme exemple, le cas où cette génératrice est une droite qui ne rencontre pas taxe; et alors on trouvera que la méridienne est une hyperbole, ainsi que nous le verrons plus loin (n" 148).

138. Du plan tangent au TORE. Si l'on fait tourner un cercle (A'B'G'B", FiG. 45. ABC) autour d'une droite (0"Z', O) qui ne passe point par son centre, mais

qui est située dans son plan, ce méridien circulaire engendrera une espèce de surface annulaire, nommée un tore, dont tous les points seront projetés horizontalement entre téquateur décrit avec le rayon OC = O'C, et le cercle de gorge décrit par le rayon OA = O'A' : mais il faut bien remarquer que les deux demi-cercles B'C'B" et B'A'B" engendreront deux nappes très-différentes de forme , quoique l'une et l'autre viennent se réunir le long des circonférences parcourues par les extrémités B' et B" du diamètre vertical. La nappe extérieure est convexe , c'est-à-dire que toutes les courbes qui y seraient tracées par un même point (N , N') se trouveraient situées d'un même côté du plan tangent en ce point. En effet, pour déterminer ce plan, il faut construire la tangente N'P' du méridien, et par le pied P de cette droite, mener une perpendiculaire PP' à la trace ON du méridien (n** 154); or on voit que la méridienne B'N'B" et le parallèle NT sont tous deux à gauche du plan tangent N'P'^P; et quoique nous ayons choisi le point (N, N') sur le méridien principal, afin de rendre plus simple la construction du plan tangent, il est bien évident que les mêmes circonstances arriveraient pour tout autre point de la nappe extérieure, puisqu'elle est de révolution et par conséquent symétrique tout autour de l'axe (0"Z', O).

Au contraire, si nous prenons un point (M, M') sur la nappe intérieure, le plan M'T'T, tangent en ce point, traversera la surface; car le méridien B'M'B" sera évidemment à droite de ce plan , tandis que le parallèle M'V se trouvera à gauche : aussi le plan M'T'T coupera le tore suivant une courbe à nœud, qui est représentée en projection horizontale par (MHEGE"MAe^e"M), et que nous apprendrons plus tard à construire (voyez n" 267). Mais cette intersection n'empêche pas le plan M'T'T de renfermer les tangentes du méridien, du parallèle, et de toutes les autres courbes tracées sur la surface par le point (M, M'); de sorte que ce plan est réellement tangent au tore en cet endroit, et sécant dans tous les autres points communs; circonstance qui tient à ce que la nappe intérieure est une surface non-convexe ou à courbures opposées, tout-àfait comparable à la gorge d'une pouhe.

139. Dans l'épure actuelle, où nous avons voulu représenter les principaux

parallèles de la surface, une partie de la trace verticale M'T' du plan tangent à la nappe intérieure, se trouve, il est vrai, cachée par le tore; mais nous avons dû néanmoins la laisser en trait plein , parce qu elle reçoit la projection verticale de la courbe d'intersection, dont la branche antérieure hrefg est visible sur le plan vertical.

140. HYPERBOLOÏDE DE RÉVOLUTION à une nappe. Nous avons nommé ainsi (n° 84) la surface que décrit une demi-hyperbole en tournant autour de son axe imaginaire; mais cette surface qui jouit de diverses propriétés très-remarquables, peut encore être engendrée par une droite assujettie à tourner, par un mouvement de révolution (n° 75), autour d'une autre droite jixe qui n'est pas dans un même plan avec la première.

FiG. 47 • Pour le démontrer, représentons la droite fixe par OZ, et la droite mobile par ADM : soit ODleur plus courte distance qui sera horizontale, si l'on regarde l'axe OZ comme vertical. Cette ligne OD décrira , dans le mouvement de révolution autour de OZ, un cercle horizontal EDF qui sera évidemment le plus petit des parallèles, ou le cercle de gorge de la surface; et la tangente DP à ce cercle sera nécessairement la projection horizontale de la droite mobile ADM; d'où il suit que cette droite ira percer le plan méridien quelconque ZOX, en un point M situé sur la verticale élevée par le point P (*). Or, si l'on construisait ainsi tous les points M, M', F, dans lesquels le plan fixe ZOX est successivement rencontré par la droite mobile ADM dans ses diverses positions, on obtiendrait la méridienne MM' F de la surface engendrée par cette droite ; et par con-^ séquent la question est réduite à prouver que cette courbe MM' F est une hyperbole qui a pour demi-axe réel la distance OF=OD. Pour y parvenir, rapportons le point quelconque M à des coordonnées parallèles aux axes OX, OZ ; et comme la distance OD reste invariable pendant le mouvement de la droite , aussi bien que l'angle MDP formé par celle-ci avec l'horizon , posons

OP=x, PM=2, OD=c?, tang. MDP=:a;

alors les triangles rectangles MPD et ODP donneront

tang. MDP = — =

DP y/OP^ — OD»

(*) La figure est censée construite en perspective sur ce plan ZOX comme tableau ; et par conséquent toutes les lignes principales situées derrière ce plan , ont été ponctuées.