CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURF. DE RÉVOLUTION

OU bien, en substituant les notations précédentes,

a = ; d où cf}x^ — ::^ = (/?à^ :

équation qui prouve que la méridienne est bien une hyperbole qui a pour demi-axe réel x = cj* ; donc le lieu parcouru par la droite mobile ADM est effectivement un hyperboloïde de révolution à une nappe.

141. Cette surface admet une seconde génératrice rectiligne ; en effet, si dans le plan vertical MDP tangent au cercle de gorge , on trace une droite BDN qui fasse avec la verticale DV un angle NDV égal à VDM , cette ligne BDN, en tournant aussi autour de OZ, engendrera la même surface que ADM , parce que deux points quelconques M et N, pris à la même hauteur sur ces droites, décriront le même cercle MNL. Pour justifier cette dernière assertion, il suffira de joindre deux à deux les points M, N, Z, V, où un même plan horizontal rencontre les diverses lignes dont nous venons de parler; et à l'aide des triangles rectangles MVD, NVD, qui sont évidemment égaux, on démontrera que les triangles rectangles ZVM, ZVN le sont pareillement ; d'où l'on conclura que ZM = ZN, et qu'ainsi les deux points M et N se trouvent bien à la même distance de Taxe OZ. Il résulte de là qu'il existe sur l'hyperboloïde deux systèmes de droites,

A,A2,A3, et i5,j32,B3, ,

dont le premier se compose des positions successives que prend la génératrice x\D , et le deuxième des diverses positions occupées par BD. D'ailleurs , puisque toutes ces droites sont deux à deux dans des plans verticaux , tels que MDN , il s'ensuit que toutes les génératrices des deux systèmes se projettent, sur te cercle de gorge , suivaiU des tangentes à cette circonférence.

142. Par chaque point R de la surface il passe deux de ces droites; car les génératrices AD et BD viendront passer à deux époques différentes de leur révolution, par ce point R; et elles y occuperont deux positions nécessairement distinctes RA3, RB2, puisque la première sera située à gauche, et la seconde à droite du plan méridien ZOR. Il suit de là que le plan tangent en R sera déterminé (n° 105) par l'ensemble des deux droites R A3 et RB2 , puisque ces lignes se trouvent sur la surface, et qu'elles sont elles-mêmes leurs propres tangentes. Mais il importe beaucoup d'observer que le plan A3RB2 , quoique renfermant la droite RBj tout entière,, ne sera pas tangent dans, un autre point de cette ligne; car en Dj, par exemple, le plan tangent sera AaDaBj; or ce dernier ne peut coïncider avec AjRB,, parce que les deux génératrices A3R et A2D2 appartien-

nent au même système, et dès lors ne sam-aient être contenues dans un même plan, comme nous allons le démontrer.

FiG. ,\". 143. Deux droites AD et AgD, , qui appartiennent au même système de génératrices, ne se trouvent jamais dans un même plan. En effet, ces droites étant projetées horizontalement sur les tangentes DTetDiT qui se coupent en T, ne pourraient avoir de communs que les points qui sont situés sur la verticale TS ; or cette verticale ira évidemment rencontrer A2D2 en S au-dessus du cercle de gorge , et AD au-dessous en S', parce que les parties inférieures de ces deux génératrices du mênîe système, sont inclinées l'une et l'autre à gauche de leurs méridiens respectifs ZOD2 et ZOD, et que le point T est entre ces méridiens. Donc , 1° les droites AD et kj}^ ne sauraient se rencontrer; 2° elles ne sont pas non plus parallèles, car leurs projections horizontales se coupent en T; ainsi, il reste démontré que deux génératrices du système A ne se trouvent jamais dans un même plan.

A la vérité, les projections horizontales de deux de ces droites se trouveront parallèles , quand on comparera celles qui passent par les extrémités d'un même diamètre du cercle de gorge ; mais, dans l'espace, Tune de ces génératrices sera inclinée à droite , et l'autre à gauche du plan méridien mené par ce diamètre , de sorte qu'elles seront loin d'être parallèles entre elles; et d'ailleurs il est bien évident qu'alors elles ne pourront pas non plus se couper.

On démontrera d'une manière toute semblable, que les droites B, Bg, B3,.... du second système ne sont jamais deux à deux dans un même plan.

144. Chaque droite du système A coupe (sans changer de position) toutes les droites B, Bj, B3,.... de l'autre sj'stème. Gela est évident pour AD etBD qui sont dans le même plan vertical; mais comparons AD avec une droite quelconque B2D2 de l'autre système. Ces deux lignes sont encore projetées sur les tangentes au cercle de gorge DT et D2T, et puisque celles-ci se coupent en T, la verticale TS ' ira nécessairement rencontrer les droites en question AD et B2D2 ; mais cette rencontre aura lieu pour chacune d'elles au-dessous du cercle de gorge, attendu que DA est inclinée à gauche du méridien ZOD, et DjBg à droite du méridien ZODj , tandis que le point T se trouve entre deux. D'ailleurs , d'après la forme de la méridienne , il est évident qu'une droite comme TS' qui est parallèle à l'axe OZ, ne peut percer la surface qu'en deux points, dont un seul S' sera sur la nappe inférieure au cercle de gorge; par conséquent ce point unique devra coïncider avec ceux où la verticale TS' a déjà rencontré les génératrices DA et D2B2 qui sont sur cette nappe ; donc ces génératrices se coupent effectivement au point S'.