CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURF. DE RÉVOLUTION

11 faut seulement observer que quand on comparera deux droites appartenant l'une au système A , l'autre au système B , et passant par les extrémités d'un même diamètre du cercle de gorge , ces droites auront des projections parallèles, et elles seront elles-mêmes dans l'espace parallèles l'une à [autre ; de sorte que leur rencontre n'aura plus lieu qu'à une distance infinie , mais du moins ces deux génératrices seront encore dans un même plan.

On démontrera d'une manière analogue que chaque génératrice du système B coupe, sans changer de position, toutes les génératrices du système A, ou du moins se trouve dans un même plan avec chacune d'elles.

145. On désigne sous le nom général de surfaces gauches , toute surface engendrée par une droite qui se meut de telle sorte que ses positions consécutives ne se trouvent pas deux à deux dans un même plan. Or, en considérant l'hyperboloïde actuel, soit comme le lieu des diverses positions A, Aj, A3,.... que prend la génératrice AD dans son mouvement de révolution autour de OZ , soit comme

le lieu des diverses droites B , Bj , B3 , de l'autre système, on voit (n" 145)

qu'il satisfera à la définition précédente ; par conséquent l'hyperboloïde de révolution à une nappe appartient à cette classe générale de surfaces que l'on nomme gauches , et dont nous nous occuperons d'une manière spéciale au livre VII.

146. Si par le centre O de l'hyperboloïde, on mène parallèlement aux gêné- piG. An. ratrices DA et DB , deux droites Oa et 06, celles-ci formeront des angles égaux

avec la verticale OZ , et par conséquent elles décriront , en tournant autour de OZ, un seul et même cône droit dont toutes les arêtes seront respectivement

parallèles aux génératrices A, A2 , A3 , et B, Bj , B3,..,. de l'hyperboloïde. Ce

sera le cône asjmptotique de cette dernière surface; car, pour le déduire de celle-ci, il suffit évidemment de poser

OD = c? = o, dans a^x*— z^» = a^'c^»

qui représentait (n° 140) le méridien de l'hyperboloïde : or, par cette hypothèse, on obtient pour le méridien du cône droit, z= ±i<xx; c'est-à-dire deux droites qui sont bien les asymptotes de l'hyperbole précédente.

147. D'ailleurs, lorsque l'on fait varier la distance (^, sans changer a ou l'inclinaison de la génératrice AD , on obtient successivement divers hyperboloïdes qui ont pour méridiens des courbes semblables; car les axes de l'hyperbole sont c? et ac?, et leur rapport est a, quantité indépendante de la distance &. 11 résulte de là que tous ces hyperboloides sont des surfaces semblables et con-

p LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.

centriques ; et comme cette similitude doit s'étendre aussi au cône asymptotique pour lequel â est nulle, on pourra affirmer que, quand un même plan coupera l'hyperboloïde et le cône asymptotique , les sections faites ainsi dans ces deux surfaces , seront des courbes semblables et concentriques (*). Cette remarque nous sera utile plus tard.

148. Après avoir fait connaître la nature et les principales propriétés de l'hyperboloïde engendré par la révolution d'une droite , occupons-nous maintenant de la représentation exacte de cette surface au moyen de deux plans de projection. Nous regarderons toujours l'axe fixe comme vertical, et alors sçs FiG. 46. projections seront O et FO'Z' ; quant à la droite mobile , prenons-la dans une situation quelconque où elle sera projetée suivant ADB et A'D'ê ; puis, construisons d'abord la méridienne de la surface , en cherchant les points dans lesquels le plan vertical OG est rencontré par les positions successives de la droite ( AB , A'ê). Or, déjà dans la situation actuelle , cette droite perce le plan OG au point (M, M"), lequel appartient à la courbe demandée, et celle-ci devra toucher en ce point la projection A'M"ê. En effet, quoique dans l'espace la tangente delà méridienne et la droite (AB, A'ê) soient très-distinctes l'une de l'autre, ces droites sont néanmoins situées toutes deux dans le plan tangent de la surface au point (M, M"); et comme ce plan est nécessairement perpendiculaire (n° 129) au plan méridien OG , et par conséquent au plan vertical de projection , il arrivera ici que A'ê se confondra avec la projection verticale de la tangente , et qu'ainsi la droite A' ê touchera elle-même la projection de la courbe méridienne en M".

Ensuite, un point quelconque (n, n') de AB, décrira pendant le mouvement de révolution, un arc de cercle projeté sur nN et sur l'horizontale n'W : donc ce point {n, n'), quand il arrivera dans le plan vertical OG, se trouvera projeté en (N, N'); ainsi ce sera là un nouveau point de la courbe méridienne G'N'M'G", et tous les autres se construiront de la même manière. En appliquant ce procédé à l'extrémité (D, D') de l'horizontale (OD, O'D'), qui est perpendiculaire à la fois sur l'axe et sur la génératrice, et qui mesure leur plus courte distance, on obtiendra le point (F, F') de la méridienne le plus rapproché de l'axe; et c'est ce point qui, dans la révolution complète de la droite mobile, décrira le plus petit des parallèles de la surface, ou le cercle de gorge projeté ici sur DFE et sur E'F'. De même, le pied (A, A') de la génératrice,

(*) Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions , chap. IX.