CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SLHF. DE RÉVOLUTION

décrivant un cercle A[jG qui sera la trace horizontale de la surface, fournira le point (G, G') du méridien : et quoique cette courbe doive évidemment setendre d'une manière illimitée, puisque la droite génératrice a elle-même une longueur indéfinie, néanmoins, pour donner une idée plus nette de la surface, nous admettrons que la droite mobile est terminée aux deux points (A, A') et (B, ê), également distants du point (D, D') qui décrit le cercle de gorge; de sorte que la portion de surface que nous considérerons ici, sera terminée à deux cercles égaux projetés horizontalement surGAH, et verticalement sur G' H' et G" H". Au reste, nous avons démontré (n° 140) que le méridien G'F'G" était une branche d'hyperbole qui avait pour axe réel le diamètre E'F' du cercle de gorge; et Ton devra observer quici, comme dan,s toute surface de résolution, le méridien principal G'F'G" forme précisément le contour apparent de la surface par rapport au plan vertical , puisque tous les plans tangents le long de ce méridien lui sont perpendiculaires (n" 129). Par une raison semblable, le contour apparent de l'hyperboloïde relativement au plan horizontal, est le cercle de gorge DFE le long duquel tous les plans tangents sont évidemment verticaux.

149. Pour compléter la représentation graphique de cet hyperboloïde , p,f; /.^ d'après le mode de génération par une ligne droite, il faut construire un certain nombre de positions de cette génératrice rectiligne. Or, puisqu'elle doit rester à une distance constante de l'axe (0,0'Z'), sa projection horizontale

sera toujours tangente au cercle DFE; menons donc à volonté la tangente A2D2B2, puis projetons le pied Aa sur la ligne de terre en A\^ et le point de contact D2 sm' E'F' en D'j; alors nous obtiendrons A'aD'aêj pour la projection verticale de la droite qui était projetée horizontalement suivant A2B2 : d'ailleurs, l'extrémité êj qui est sur le cercle supérieur G" H", devra évidemment se trouver projetée en Bj, ce qui offrira une vérification. Les autres positions de la génératrice se construiront d'une manière analogue, et leurs projections verticales devront encore toucher l'hyperbole méridienne, ainsi que nous l'avons démontré au numéro précédent pour la première droite ADB ; seulement , il faut observer que quand on choisira la projection horizontale parallèle à la ligne de terre, comme KL, la projection verticale correspondante Q'ê sera [asymptote de l'hyperbole, puisqu'en effet une pareille génératrice ne rencontrera plus le plan méridien OG qu'à une distance infinie, sans cesser d'être, en projection verticale, tangente à l'hyperbole méridienne.

150. Pour obtenir des résultats plus symétriques, on a, dans l'épure actuelle, divisé le cercle GAH en quatorze parties égales , et tracé d'abord les cordes

AB , Ag B 2 , A3 Bg , de manière à soutendre un même nombre d'arcs partiels ; par-là ces cordes , nécessairement égales, se sont trouvées tangentes à un même cercle EDF, puis on en a déduit les projections verticales , comme nous l'avons dit au numéro précédent. D'ailleurs, quoique ces cordes aboutissent deux à deux aux mêmes points de division sur le cercle GAH, on distinguera aisément les parties situées au-dessous du cercle de gorge d'avec les parties supérieures, puisque les premières étant invisibles sur le plan horizontal, sont ici représentées par des Ikfnes ponctuées. Quant au plan vertical , les portions de génératrices situées au-delà du plan méridien GOH qui renferme le contour apparent de la surface (n° 148) par rapport à ce plan de projection, sont les seules qui deviennen,t invisibles et qui aient dû être ponctuées.

1.^1. On sait ( n° lil) que l'hyperboloïde admet un autre système de génératrices rectilignes, projetées également sur les tangentes au cercle de gorge

AB, A2B2 , , mais qui ont dans l'espace une position inverse par rapport

à la verticale. Par exemple, celle de ces nouvelles droites qui serait projetée suivant BDA (*), aurait son pied en ( B, B' ) et son extrémité supérieure en (A, a), tandis qu'elle couperait la droite ADB du premier système au point (D, D'); ainsi elle aurait pour projection verticale B'D'a, ligne qui a déjà reçu la projection d'une droite LMG du premier système. G est pour éviter cette coïncidence que nous n'avons pas voulu représenter, sur l'épure, les génératrices des deux systèmes à la fois; car autrement, les parties pleines des unes tombant sur les parties ponctuées des autres , il n'aurait plus été possible de distinguer les portions visibles ou invisibles dans chacun des systèmes. Au surplus , il sera toujours facile , même sur l'épure actuelle , de retrouver les droites du système B quand on en aura besoin , puisqu'il suffira de prendre les portions pleines pour les parties ponctuées, et réciproquement, comme nous venons de l'indiquer pour la droite BDA. On pourra aussi multiplier davantage les génératrices, afin d'obtenir plus dejfet dans le dessin ; mais nous avons cru devoir ici sacrifier quelque chose sous ce dernier rapport , afin d'offrir plus de netteté dans la position des points et des lignes remarquables qu'il fallait signaler au lecteur.

FiG. 46. ^^^- ^" P^«« tangent à l'hyperboloïde. Soit R la projection horizontale du

(*) Pour indiquer plus clairement la situation des diverses droites , nous aurons toujours soin de citer en premier lieu , la lettre qui désignera l'extrémité inférieure de la droite dont nous parlerons. ^