CHAPITRE IV. — PLANS TA^GEKTS AUX SURF. DE RÉVOLUTION

point de contact , assignée par la question : pour obtenir l'autre projection , j'observe que par le point considéré sur la surface, il passe une génératrice du système A, laquelle est projetée horizontalement suivant une tangente PRA au cercle de gorge, et verticalement suivant P'a; si donc je projette R en R' sur cette dernière droite, j'aurai déterminé complètement le point de contact ( R , R' ). Mais il y a une seconde solution ; car, puisque je peux mener de R une autre tangente BRQ au cercle de gorge, laquelle représentera aussi une . génératrice du système A pi-ojetée verticalement suivant B'Q", je n'aurai qu'à projeter R en R" sur cette dernière ligne , et j'obtiendrai un second point ( R, R" ) qui sera situé sur ;rhyperboloïde , et qui aura pareillement sa projection horizontale en R.

153. Gela posé, considérons le point (R, R'), et rappelons-nous (n" li2) qu'il doit passer par ce point unique deux génératrices de l'hyperboloïde : l'une est la droite (PRA, P'R' a) déjà employée et qui appartient au système A; l'autre appartient au système B et serait projetée sur (QRB, Q'R'ê). Donc le plan tangent en (R, R') devra renfermer ces deux droites, et par suite la trace horizontale de ce plan sera QPS. Pour déterminer l'autre trace SV, il suffira d'imaginer dans ce plan tangent et par le point (R, R'), une horizontale dont les projections seront RV parallèle à la trace QPS, et R'V parallèle à la ligne de terre; puis, on construira le point (V, V) où cette horizontale va percer le plan vertical.

Quant au plan tangent relatif au point (R, R" ) , il se trouvera déterminé par les deux droites de systèmes opposés, qui se coupent en cet endroit:

L'une est ( BRQ, B'R'Q") pour le système A , L'autre est (ARP, (A'R"P) pour le système B.

Ainsi la trace horizontale de ce plan sera la ligne AB, et la trace verticale s'obtiendrait, comme ci-dessus, par le secours d'une horizontale menée dans ce même plan à partir du point (R, R").

154. Revenons au plan tangent PSV qui touche l'hyperboloïde au point p^g /g ( R , R' j , et remarquons que sa trace horizontale PQ se trouve bien perpendiculaire au plan méridien OR qui passerait par le point de contact, ainsi que

cela doit arriver (n° 134) dans toute surface de révolution dont l'axe est vertical : mais ce plan tangent PSV n'est pas tangent à l'hyperboloïde dans tout autre point , tel que ( T, T' ) , de la droite (PRA , P' R' a) qu'il renferme, puisque sa trace horizontale PQ ne saurait être perpendiculaire au méridien OT.

D'ailleurs, par ce point (T, T') de la droite (PRA, P'R'a) qui appartient au système A, il passe une génératrice (HTBj, H'T'êa) du système B, laquelle est évidemment située hors du plan dont nous parlons , puisque le pied de cette génératrice est en H hors de la direction de PQ. Par conséquent le plan PSV ne satisfait pas, pour le point (T, T'), à la définition du véritable contact , qui consiste à renfermer les tangentes à toutes les lignes situées sur la surface; tandis qu'au point (R, R') ce plan contient non-seulement les deux génératrices qui s'y coupent , mais aussi la tangente du parallèle qui est précisément (RV, R'V'), la tangente du méridien, et celle de toute autre courbe tracée par ce point sur l'hyperboloide.

Nous avions déjà prouvé cette propriété singulière du plan tangent à l'hyperboloide gauche dans le n" 142 ; mais nous avons cru devoir insister sur cette circonstance et l'appuyer ici par de nouvelles considérations, parce qu'il importe de se former une idée bien nette de la position d'un plan qui est ainsi tanyent dans un point (R, R'), et sécant dans tous les autres points communs avec la surface, qu'il coupe ici suivant les deux droites (PRA, P'R'a) et (QRB, Q'R'ê).

155, Tous les problèmes relatifs aux plans tangents, que nous avons résolus dans ce livre, portaient sur des surfaces cylindriques, coniques, ou de révolution. Nous n'en ajouterons pas maintenant de nouveaux exemples, pour d'autres genres de surfaces, parce que la méthode se réduit dans tous les cas à employer le procédé général indiqué n° 103, et que nous rencontrerons dans la suite assez d'occasions de l'appliquer; mais il resterait à traiter la question du plan tangent , lorsque le point de contact n'est pas assigné sur la surface. Nous l'avons fait de suite à l'égard des cylindres et des cônes , parce qu'alors la solution était trop simple pour la différer ; quant aux autres surfaces, il n'en est pas de même, et l'on a besoin quelquefois de s'aider des méthodes relatives aux intersections de surfaces ; c'est pourquoi nous renverrons les problèmes de ce genre à un des livres suivants . , . . .