CHAPITRE PREMIER

Des surfaces déueloppables.

156. Une surface est dite développable , lorsque étant supposée flexible mais inextensible, elle peut être étendue sur un plan, sans éprouver aucun changement dans sa superficie. Or on sent bien que toute surface, par exemple une portion quelconque de sphère, ne jouit pas de cette propriété; c'est pourquoi il devra y avoir, dans le mode de génération d'une surface développable, quelque condition particulière qui lui peniiette de subir cette transformation, et c'est ce que nous expliquerons bientôt (n° 17a). Mais, avant de nous élever à ces généralités , il nous paraît utile d'examiner d'abord deux genres particuliers de surfaces qui peuvent ainsi être développées sur un plan; ce sont les cylindres et les cônes. D'ailleurs , le moment est venu d'introduire ici les considérations de la méthode infinitésimale qui, bien entendue, présentera toute la rigueur désirable, et offrira dans la suite le double avantage d'abréger les raisonnements et de se prêter avec facilité aux opérations graphiques de la Géométrie descriptive.

157. Ija tangente d'une courbe étant la limite des positions que prend une sécante, lorsque deux de ses points de section se rapprochent indéfiniment, on peut considérer la tangente comme une droite qui passe par deux points infiniment voisins sur la courbe, ou qui a un élément de commun avec elle; par-là on substitue, il est vrai, à la courbe proposée, un polygone inscrit dont les côtés et les angles extérieurs sont infiniment petits, et dont chaque côté prolongé remplace une tangente; mais toute propriété qui, dans un tel polygone, sera vraie indépendamment de la grandeur absolue de ses côtés et des angles compris , subsistera également lorsqu'on multipliera de plus en plus ces petites cordes en les rapprochant de la courbe; par conséquent cette propriété aura

jyS LIVRE III. *— SURFACES DÉVELOPPABLES El ENVELOPPES.

lieu pareillement quand on passera à la limite, c'est-à-dire quand on considérera la courbe en question et ses véritables tangentes.

158. D'ailleurs, nous avons démontré rigoureusement (n° 95) que, dans toute surface , les diverses courbes tracées par un même point, avaient leurs tangentes en ce point situées dans un plan unique; donc ce plan que nous avons nommé tangent, pourra être considéré comme ayant de commun avec la surface un élément superficiel formé par l'ensemble des éléments linéaires communs aux courbes et à leurs tangentes; ce sera l'élément de contact, qui se trouvera en général infiniment petit dans tous les sens, à moins que la surface ne soit d'un genre tel que le plan tangent se trouve le même pour plusieurs points consécutifs.

F(G. 48. 150. Dans un cylindre, par exemple, nous savons (n° 99) que le plan BAT est tangent tout le long d'une même génératrice AMB ; donc ici ce plan aura de commun avec la surface un élément superficiel ABB'A' indéfini en longueur, mais compris entre les deux génératrices infiniment voisines qui passent par les points A et A' communs à la base AG et à sa tangente AT. On voit que nous distinguons ici, comme dans la note du n" 109, l'élément de la surface d'avec la génératrice ; et cela est essentiel : car, dans les surfaces gauches, nous reconnaîtrons que cette dernière droite sera commune aussi à la surface et au plan tangent, tandis que l'élément superficiel indéfini en longueur ne se trouvera pas tout entier dans ce plan.

De même, une surface conique qui est touchée par son plan tangent tout le long d'une génératrice (n° 100), aura de commun avec ce plan un élément superficiel indéfini en longueur, mais compris entre deux génératrices infiniment voisines.

Fi G. 48. ^^^- U^E SURFACE CYLINDRIQUE EST TOUJOURS DÉVELOPPABLE ; car imaginons qu elle a été coupée par un plan perpendiculaire à ses génératrices, suivant une courbe GA qui se nomme la section droite (*) ou section orthogonale du cylindre, et que nous regarderons comme sa base, ou comme la directrice de la droite mobile qui a engendré cette surface : puis, substituons pour un mo-

(*) Nous appellerons souvent, pour abréger, cylindre droit, celui dans lequel on prendra pour base ou pour directrice la section droite , sans vouloir exprimer par- là que cette section est un cercle ; du reste , cette dénomination n'indiquera rien de particulier dans la nature du cylindre , puisqu'on sent bien que toute surface cylindrique peut être ramenée à ce cas en la coupant , comme ici, par un plan perpendiculaire à ses génératrices.