CHAPITRE I. — SUllFACES DEVELOPPABLES. Jg

ment à cette courbe un polygone inscrit GAA'A", ce qui transformera le cy- Fig. /19. lindre en un prisme droit. Alors nous pourrons faire tourner la face B"A' A'B' autour de l'arête B'A' comme charnière, jusqu'à ce qu'elle vienne se placer dans le plan de la face B'A'AB; et par-là le côté A' A", transporté en A'a", se trouvera situé sur le prolongement de AA', puisqu'ils continueront d être tous les deux perpendiculaires à l'arête A'B'. Ensuite, on pourra faire tourner la face composée BAa" b" autour de la charnière AB, jusqu'à ce qu'elle arrive dans le plan de la face suivante ; et en continuant ainsi , on amènera toutes les faces du prisme à être situées dans un plan unique, à la suite les unes des autres, de sorte que la surface prismatique se trouvera développée, sans avoir changé de superficie. En outre, observons bien que tous les côtés du polygone CAA'A" formeront , après le développement , une seule et même ligne droite à laquelle toutes les arêtes du prisme continueront d'être perpendiculaires, ainsi que nous l'avons prouvé pour les deux premiers côtés AA' et A' A"; et que la longueur de cette droite sera égale à la somme des côtés du polygone primitif, tandis que les diverses arêtes AB, A'B',.— auront conservé les longueurs qu'elles avaient auparavant.

161. Or il est bien évident que toutes ces conséquences seront également Ffg. \S. vraies, quelle que soit la grandeur des angles et des côtés du polygone que l'on a substitué à la courbe CAA'; par conséquent elles auront lieu aussi dans un cylindre qui est la limite des- prismes inscrits, ou si l'on veut exprimer différemment la même idée , dans un cylindre qui n'est autre chose qu'un prisme dont

la base serait un polygone injinitésimai On peut donc affirmer, 1° que toute surface cylindrique est développable ; 2° qu'après cette transformation, la section orthogonale ou perpendiculaire aux génératrices, devient une droite dont la longueur égale le périmètre de cette section ; 3° que les génératrices restent perpendiculaires à cette droite, en conservant d'ailleurs leurs longueurs primitives soit au-dessus , soit au-dessous de cette base.

162. S'il existait sur le cylindre une courbe quelconque GMIM', elle se trou- Ym, An. verait remplacée, sur le prisme, par un polygone GMM'M" dont les côtés ne changeraient pas de longueur, lorsqu'ils seraient entraînés avec les faces du prisme , dans leurs mouvements de rotation autour des arêtes successives; mais

ce polygone changerait de forme , puisque l'angle intérieur MM'M" (*) devien-

(*) Le supplément de cet angle, savoir M"MV, lequel serait compris entre deux tangentes consécutives , se nomme angle de contingence , et peut servir à apprécier la courbure de la courbe en cet endroit, comme nous l'expliquerons bientôt ( n° 198).

8o LIVRE III. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

drait MM'm". Toutefois, comme dans ce développement le côlé M'M" tournera par un mouvement de révolution autour de la charnière B'M', il s'ensuit que l'angle B'M 'M" demeurera constant et égal à B'M' m" : il en sera de même de l'angle BMM' ou TMA qui restera invariable , et dont un côté TMM' deviendra, à la limite, la tangente de la courbe que remplace actuellement le polygone GMM'. Si d'ailleurs on observe que toutes ces propriétés sont indépendantes de la petitesse plus ou moins grande des faces du prisme, et qu'ainsi elles doivent encore être vraies pour la limite de ce prisme, ou pour le cylindre de la Jicj. 48 , on en déduira les conséquences suivantes : FiG. 48. i°- Quand on développe un cylindre sur lequel est tracée une courbe quelconque GM , cette ligne se change en une autre courbe que nous appellerons la transformée de la première , et dont les arcs ont la même longueur absolue que ceux de la courbe primitive ; -

2°. Les portions de génératrices MA, M'A',...., comprises entre cette courbe et la section orthogonale CAA', restent de même grandeur, et toujours perpendiculaires à la droite suivant laquelle se transforme la base CAA'.

3". Chaque tangente MT à la courbe primitive forme, avec la génératrice MA, un angle qui demeure invariable; et d'ailleurs cette droite MT se retrouve, après le développement , tangente à la transformée. Cette dernière assertion se justifie en observant que, sur le développement du prisme, la ligne MT ne cesse pas d'être le prolongement d'un côté du polygone transformé. Nous verrons bientôt, dans plusieurs épures, la manière dont on fait usage de ces diverses propriétés pour exécuter graphiquement le développement d'un cy-^ lindre , et pour y construire les transformées des courbes primitivement tracées sur ce corps.

165. Nous avous dit qu'une courbe quelconque GMM' tracée sur un cylindre, se changeait, après le développement de cette surface, en une autre ligne qui généralement était encore courbe ; cependant il y a des cas particuliers ou cette transformée pejLit être rectiligne, et pour trouver plus facilement les conditions qui s'y rapportent, substituons encore au cylindre et à la courbe le prisme droit et le polygone GMM' de la fig. 49. Alors, pour que le côté FiG. 49- M'M", transporté en M'm", se trouve sur le prolongement de MM', il faut et il suffit évidemment que l'on ait

angle B'M'm" = A'M'M = BMM';

et puisque nous avons vu (n° 162) que le premier de ces angles demeurait égal à