CHAPITRE I. — SURFACES DÉVELOPPABLES

Tangle primitif B'M'M", la condition précédente revient à celle-ci :

angle B'M'M" = BMIVr;

comme il en serait de même des autres côtés consécutifs comparés entre eux , on en conclut que tous les côtés du polygone GMM'M" doivent couper les arêtes du prisme sous un angle constant. Maintenant, si l'on transporte au cylindre ces relations qui. devaient toujours avoir lieu sur le prisme , quelque petites que fussent ces faces, et si l'on se rappelle (n° 157) que les prolongements des côtés du polygone deviennent, à la limite, les tangentes de la courbe continue vers laquelle converge ce polygone , on en déduira ce théorème : pour quune courbe GM, tracée sur un cylindre, devienne rectiligne après le dcveloppement de cette surface , il faut et il suffit que toutes les tangentes de cette courbe fassent un angle constant avec les génératrices du cjUndre. Les courbes qui satisfont à cette dernière condition , se nomment des hélices , quelle que soit la base du cylindre sur lequel elles sont tracées : ainsi les hélices sont les seules courbes qui deviennent rectilignes , par le développement de la surface cylindrique qui les contient.

164. Elles jouissent d'ailleurs de cette autre propriété bien remarquable : FiG. 48. lin arc quelconque d hélice GM est la ligne la plus courte que ton puisse tracer sur le cylindre, entre ses extrémités G et M. En effet, si on lui compare une autre courbe comprise entre les points G et M , ce dernier arc ne deviendra pas rectiligne quand on aura développé le cylindre; donc alors il sera plus long que

l'arc d'hélice qui sera devenu une droite : mais nous avons vu (n° 162) que, dans ce développement, les transformées conservaient la même longueur que les courbes primitives; donc aussi, avant le développement du cylindre, l'arc d'hélice était plus court que toute autre ligne passant par les points G et M.

165. Il importe d'observer ici que toutes les courbes qui deviennent rectilignes après que le cylindre est développé , étaient primitivement à double courbure, c'est-à-dire que trois tangentes infiniment voisines, ou trois éléments consécutifs, n'étaient pas dans un même plan. En effet, revenons au polygone de la^i^. 49, et considérons-y trois côtés consécutifs KM, IMM', M'M", que nous supposerons dirigés de manière à former, avec les arêtes du prisme , des angles égaux entre eux et désignés par a. Si ces trois côtés pouvaient être dans un plan unique, il en serait certainement de même pour trois droites menées par un point quelconque G , parallèlement à ces côtés : or ces trois parallèles, formant aussi chacune iin même angle a avec l'arête GD, se trouveront situées sur la siu*-

face d'un cône droit dont GD sera l'axe ^ et l'on sent bien qu'une telle surface ne saurait avoir trois de ses génératrices dans un même plan , puisque alors trois points de la circonférence qui lui sert de base seraient en ligne droite. Donc il est pareillement impossible que les trois côtés consécutifs KM, MM', M'M", se trouvent dans un même plan ; et cette proposition ayant lieu quelle que soit la petitesse de ces côtés , demeure également vraie pour leur prolongements , lorsque le polygone dégénère en une courbe continue, auquel cas ces prolongements sont les tangentes mêmes de cette courbe. Ainsi les hélices sont toujours des lignes à double courbure.

166. Il faut seulement excepter de cette conclusion générale, un cas unique qui est celui où l'angle a se trouve droit ; car alors le cône qui nous a servi tout à l'heure à établir la proposition précédente, se réduit lui-même à un plan. D'ailleurs, l'hélice particulière qui répond à l'hypothèse actuelle a = 90", n'est autre chose évidemment que la section droite CAA'; et nous savons en effet (n° 161) que cette section devient rectiligne après le développement du cylindre ; mais du moins nous pouvons affirmer que de toutes les courbes planes tracées sur un cylindre, il n'y a que la SECTION ORTHOGONALE qui devienne rectiligne après le développement de cette surface.

¥iG. 4û. 167. A l'occasion des hélices qui, comme nous l'avons reconnu , ne sont pas des courbes planes, nous ferons observer que dans toute courbe gauche (n" 7, note) telle que GKM , située d'une manière quelconque dans l'espace, si trois éléments voisins KM, MM', M 'M" ne sont pas dans un même plan, du moins cette condition sera toujours remplie pour deux éléments consécutifs MM' et M' M" ; et le plan MM' M" se nomme le plan osculateurde la courbe au point M. Pour le point R, au contraire, le plan osculateur serait KMM', et ainsi de suite; de sorte que les divers plans osculateurs se coupent deux à deux suivant un élément intermédiaire, et ils ne coïncident tous ensemble qu'autant que la courbe est plane. D ailleurs, par les considérations exposées plus haut, cela revient évidemment à définir le plan osculateur comme celui qui passe par deux tangentes infiniment voisines.

168. Observons encore qu'une ligne courbe continue, plane ou non, n'a jamais qu'une tangente unique en un point donné ; mais elle admet évidemment une infinité de normales , c'est-à-dire de droites perpendiculaires à la tangente, et menées par le point de contact de celle-ci : or toutes ces normales forment nécessairement un plan perpendiculaire à la tangente, et que l'on appelle le plan normal delà courbe au point en question. C'est précisément le contraire de ce qui arrive pour une surface, laquelle admet, en chacun de ses points, une