CHAPITRE I. — SURFACES DÉVELOPPABLES

infinité de tangentes formant le plan tangent, et une normale unique perpendiculaire à ce plan.

169. Une surface conique est toujours développable. Sans passer ici par toutes les considérations intermédiaires que nous avons cru devoir employer pour le cylindre , regardons immédiatement la base du cône , quelle qu'elle

soit, comme un polygone infinitésimal CAA'A", et ce cône lui-même comme une Pic 5o. pyramide dont chaque face SA A' sera un élément superficiel infiniment étroit , qui se trouvera commun (n° 159) à la surface et à son plan tangent le long de la génératrice SA. Alors ou pourra faire tourner la face SA'A" autour de l'arête SA', jusqu'à ce qu'elle vienne se placer dans le plan de la face SA'A, et à la suite de celle-ci; puis, faire tourner le système de ces deux faces autour de l'arête SA , et les amener dans le plan de la face précédente. En continuant de la sorte , on obtiendra un secteur polygonal (*) composé de toutes les faces de la pyramide, mises à côté les unes des autres dans un même plan, et dont par conséquent la superficie égalera l'aire de cette pyramide ; d'ailleurs il est évident que, dans cette transformation, les côtés et les angles des faces SA'A", SAA',... resteront invariables, ainsi que ceux des triangles quelconques SM'M", SMM',.- , tandis que les angles AA'A", MM' M" changeront de grandeur; et comme ces diverses circonstances sont également vraies, quelle que soit la petitesse des faces de la pyramide , elles subsisteront donc pareillement pour la limite de ce corps, c'est-à-dire pour un cône sur lequel les polygones GAA'A" et GMM'M" deviendront des courbes continues, dont les tangentes seront les prolongements des éléments A A' et MM'.

1 70. De là résultent évidemment les conséquences suivantes : i ° toute surface conique est développable, et dans cette transformation, les génératrices ou des portions quelconques de ces droites , ne changent pas de longueur.

2**. La base du cône, ou toute autre courbe tracée sur sa surface, devient une ligne dont la courbure n'est plus la même que celle de la courbe primitive , et qu'on nomme la transformée de la première ; mais les arcs de cette transformée conservent la même longueur absolue que ceux de la courbe primitive. Si cette dernière avait d'abord tous ses points à une distance constante du sommet, la transformée serait un arc de cercle décrit avec cette distance pour rayon.

3°. Chaque tangente de la courbe primitive forme avec la génératrice du cône,

(*) Ou plutôt, le système de deux secteurs opposés par le sommet, si l'on développe en même temps la pyramide supérieure SBB'B" qui remplace la deuxième nappe du cône.

84 LIVRE IIK — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

un angle qui reste invariable dans le développement de cette surface; et cette première droite redevient tangente à la transformée. Nous verrons plus loin de quelle manière on emploie ces diverses propriétés , pour exécuter graphiquement le développement d'une surface conique.

171. Pour qu'une courbe GMM', tracée sur un cône, devienne rectiligne après le développement de la surface , il faut évidemment et il suffit que deux éléments consécutifs MM', M'M", soient dirigés de manière que

'V «n^/eSM'M" = SM'f;

et comme les prolongements de ces éléments sont les tangentes de la courbe primitive, cela revient à dire que deux tangentes consécutives de cette courbe doivent former des angles égaux avec la génératrice intermédiaire : mais ces angles ne sont plus constants pour toutes les tangentes, ainsi qu'il arrivait dans le cas du cylindre (n° 165).

FiG. 5o. 172. Toute courbe qui vérifiera la condition précédente, jouira aussi de la propriété d'être la ligne la plus courte que l'on puisse tracer entre deux de ses points, sur la surface conique ; et cela, par les mêmes raisons qui ont été données dans le n" 164 : mais cette courbe ne présentera pas la forme d'une spirale qui s'élèverait de plus en plus vers le sommet S du cône. En effet, l'angle SMM' sera moindre que SM'M" , puisque ce dernier égalera SM'f ; ainsi, l'inclinaison SM/ de chaque tangente sur la génératrice correspondante, étant d'abord un angle aigu qui va toujours en augmentant , la distance SM deviendra minimum lorsque cet angle sera droit , et alors on obtiendra le point de la courbe le plus rapproché du sommet S ; puis au-delà, cette courbe s'en éloignera de plus en plus, puisque l'angle SMt deviendra obtus, et continuera de croître. Ainsi, sur un cône de révolution , par exemple, la ligne la plus courte entre deux points de la base circulaire , n'est pas l'arc de ce cercle compris entre ces deux points -^ mais c'est une espèce de courbe hyperbolique dont le sommet se trouve à égale distance des deux points en question, et qui, après le développement du cône, deviendrait une corde du cercle dans lequel la base primitive serait transformée. Les deux rayons parallèles à cette corde étaient, sur le cône primitif, les gênéj-atrices asymptotes de la courbe en question.

173. Au contraire, une courbe qui, sur une surface conique quelconque , jouirait d'une propriété analogue à celle de l'hélice (n° 165), c'est-à-dire dont chaque tangente ferait un angle constant avec la génératrice passant par le poipt de contact, présenterait la forme d'une spinale qui s'approcherait iodéfimiment