CHAPITRE I. — SURFACES DÉ VELOPP ARLES

du sommet, lequel serait à son égard un point asymptotique : puis, dans le développement, cette courbe deviendrait évidemment une spirale logarithmique , car on sait que cette dernière a la propriété de couper tous ses rayons vecteurs sous un angle constant.

Si cet angle était droit, la trcuisformée serait un cercle; et alors tous les rayons vecteurs étant égaux, la courbe primitive tracée sur le cône ne pourrait être qu'une courbe sphérique, c'est-à-dire qui résulterait de l'intersection du cône proposé avec une sphère ayant pour centre le sommet. (Voyez n° 319.)

174. Surfaces développarles quelconques. Généralisons maintenant les considérations que nous avons employées pour les cônes et les cylindres, et imaginons qu'une surface soit engendrée par une droite qui se meut de telle sorte FiG. 5i. que toujours deux positions consécutives, ou infiniment voisines, se trouvent dans

un même plan. Nous indiquerons bientôt (n° 180) divers modes de satisfaire à cette condition; mais, pour l'instant, il nous suffira d'admettre qu'elle a été remplie d'une manière quelconque , et que AB, xVB', A"B",.... sont des positions infiniment voisines de la droite mobile. Alors, d'après la définition de la surface, les deux génératrices consécutives AB et A'B' se couperont nécessairement (*) en un certain point M'; de même la génératrice A'B' sera rencontrée par A"B" en un point M", et celle-ci le sera par la suivante en un point M'", etc. ; de sorte que ces intersections successives donneront lieu à un polygone MM'M"M'" ; ou plutôt, puisqu'on suppose les génératrices infiniment rapprochées, cela formera une courbe continue VMM'M"U à laquelle toutes ces droites seront évidemment tangentes, et qui se nomme l arête de rebroussement de la surface, par une raison que nous expliquerons bientôt (n° 178).

175. Cela posé, je dis que la surface engendrée d'après la loi précédente , FiG. 5i. est développable. En effet, puisque les deux génératrices consécutives AMB et A'M'B' sont dans un même plan, elles comprennent entre elles une zone angulaire de la surface, infiniment étroite, mais indéfinie en longueur, et qui est nécessairement plane; car, pour les diverses courbes tracées sur la surface, les éléments linéaires AA', PP',.... ayant deux points de communs avec les droites

AM et A'M', se trouvent tous dans le plan de ces deux génératrices. De même, les génératrices A' M' B' et A"M"B" comprennent un autre élément superficiel qui est plan et d'une longueur indéfinie; et ainsi des autres. Alors, si l'on fait

(*) Elles jHïurraient être parallèles; mais en considérant alors leur point de section comme situé à l'infini, on retrouvera toujours ce cas particulier dans l'espèce générale.

tourner le premier élément autour de la droite A'M'B' comme charnière, jusqu'à ce qu'il vienne dans le plan et à la suite du deuxième élément; puis, que l'on rabatte autour de A"B" le système de ces deux éléments sur le plan du troisième , on finira, en continuant ainsi, par dérouler sur un plan unique toute la surface proposée, sans discontinuité et sans altérer sa superficie. D'ailleurs il est bien évident, i" que par cette transformation, on n'aura nullement changé les longueurs des portions de génératrices MA, M'A',..., non plus que celles des arcs AA', A'A",.... ; 2" que les angles MAA' ou MAT, MA' A" ou MA'T',.... formés par les génératrices avec les tangentes d'une courbe quelconque AD tracée sur la surface, resteront aussi invariables ; 3° qu'au contraire les angles de contingence tels que TA'T', ou leurs suppléments comme AA'A", changeront de grandeur, et qu'ainsi la courbe AD aura pour transformée une ligne dont la courbure ne sera plus la même que primitivement. Par-là il demeure donc prouvé que toute surface qui satisfera à la condition du n° 17 i, sera développable.

176. Réciproquement, cette condition est nécessaire; car, pour qu'une surface puisse être étendue sur un plan sans déchirure ni duplicature, il faut évidemment qu'elle se compose d'éléments superficiels plans, qui soient réunis seulement deux à deux par des bords rectilignes indéfinis, afin que ces droites puissent servir de charnières pour faire tourner ces éléments superficiels, et les amener dans un plan unique à la suite les uns des autres. Tandis que, si la droite intersection de deux éléments contigus était limitée par la rencontre d'un autre élément, il existerait en cet endroit un angle trièdre ou polyèdre, dont les faces ne pourraient être étendues sur un plan, sans laisser entre elles des interstices; et comme cette circonstance se répéterait pour chaque point où se réuniraient plus de deux éléments superficiels , il n'y aurait plus de continuité dans le développement de la surface, et la superficie en serait altérée.

177. Il résulte immédiatement de là que le plan qui touche une surface déve-' loppable dans un point quelconque P, est tangent tout le long de la génératrice APMB qui passe par ce point. En effet, puisque (n° 175) toutes les courbes AD, PX, BG,.... ont leurs éléments linéaires AA', PP', BB ',.... situés dans le plan des deux droites infiniment voisines AM'B, A'M'B', il s'ensuit que ce plan renferme toutes les tangentes en A, P, B ,... , et par conséquent c'est bien un seul et même plan AM'A' ou BAT, qui touche la surface développable tout le long de la génératrice AMB. Ainsi , dorénavant , quand on voudra construire le plan tangent relatif à un point Q donné sur une telle surface , il suffira de

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le faire passer par la génératrice AQB et par la tangente AT à une courbe tracée sur cette surface par un point quelconque de AB.

Cette proposition que nous avions déjà démontrée (n°* 99-100) pour les cylindres et pour les cônes, est donc commune à toutes les surfaces développables; et elle mérite d'autant plus d'attention, qu'elle ne se vérifiera pas dans les surfaces gauches, quoique celles-ci admettent pareillement des génératrices rectilignes. D'ailleurs, elle va nous servir bientôt à indiquer un nouveau mode de génération des surface* développables , en les regardant comme des enveloppes d'un plan mobile (n 483).

Observons aussi que le plan AM'A' ou BAT qui est tangent à ta surface développable , coïncide précisément avec le plan osculateur de l'arête de rebroussement VMU, puisque les deux génératrices AM' et A' M' sont tangentes à cette courbe.

178. Nous avons dit que la courbe VMU formée par les intersections suc- pjQ 5j cessives des génératrices , se nommait f arête de rebroussement de la surface développable ; et pour sentir la justesse de cette dénomination , il n'y a qu'à regarder chaque génératrice AB comme composée de deux pai'ties MA et MB, l'une située au-dessous et l'autre au-dessus du point de contact M ; puis , désigner sous le nom de nappe inférieure la portion de surface engendrée par les parties MA, M'A', M"A",.... taudis que les parties MB, M'B% M"B",.... formeront la nappe supérieure (*). Alors , si l'on veut passer d'une nappe à l'autre, en cheminant sur la surface d'une manière continue et dans une direction quelconque (excepté dans la direction d'une génératrice), on s'apercevra aisément que ce passage ne peut avoir lieu qu'en suivant une courbe êNa, qui présentera un point de rebroussement à l'endroit où elle rencontrera la ligne VMU.

Gomme cette circonstance est très-importante à remarquer, essayons de la rendre plus sensible, en projetant toute la figure sur un plan horizontal quelconque; soient donc vnu [fig. 62) la base du cylindre vertical qui passe par la courbe VNU, et a/>, a'6',... les projections des génératrices, lesquelles seront y^^ ^^ nécessairement tangentes à vnu. Il s'ensuit déjà qu'aucune de ces droites ne pé- et 52. nétrera dans le cylindre vertical v/m, et qu'ainsi les deux nappes de la surface

(*) Ces parties de génératrice se prolongeraient indéfiniment; mais, pour rendre plus sensible la forme opposée des deux nappes , nous supposons ici que ces droites se terminent à deux plans horizontaux qui coupent la surface suivant les courbes AD et BC, dont la première tourne sa convexité , et la seconde sa concavité vere l'observateur.

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développable restent en dehors de ce cylindre , sur lequel elles viennent s'appuyer le long de la courbe VNU. D'ailleurs, si Ton regarde ce cylindre comme un corps solide, et la génératrice projetée sur ab comme une droite inflexible qui roule, sans glisser, sur ce cylindre en demeurant tangente à la courbe VNU, il est évident que cette droite mobile parcourra la surface développable en question. Or, dans ce mouvement, on aperçoit bien qu'un point quelconque ê, fixement attaché à la partie supérieure mb de la génératrice, ira d'abord en se rapprochant du cylindre, et viendra en ê' quand la génératrice se projettera sur a'b\ puis en n lorsqu'elle sera projetée sur a"b". Mais, au-delà de cette position, le point générateur se trouvera au-dessous du point de contact de la génératrice, quand elle continuera de rouler sur le cylindre vertical; de sorte que le point mobile commencera dès lors à s'écarter de plus en plus de ce cylindre , et il viendra en a'" pour la position a"'b"\ en ce"" pour a""b"",.... D'où l'on doit voir clairement que la courbe ë&na.'" décrite par le point ê, se composera de deux branches qui offriront un rebroussement en n , et dont la première êê'n sera située sur la nappe supérieure de la surface , tandis que l'autre na" sera sur la nappe inférieure. Nous étudierons en détail, au n" 456, le cas particulier où la courbe VNU est une hélice.

179. En résumant tout ce qui précède, on trouve les conséquences suivantes : 1°. Pour qu'une surface soit développable , il faut et il suffit quelle soit engendrée par une droite qui se meuve de manière que toujours deux positions consécutives se trouvent dans un même plan. C'est là une propriété caractéristique pour toutes les surfaces de cette classe, laquelle comprend évidemment les deux genres particuliers des cylindres et des cônes; puisque , dans le premier, les génératrices rectilignes sont toujours parallèles, et que dans le second elles se coupent toutes au même point.

2°. Une surface développable admet toujours une ARETE DE REBROUSSEMENT formée par les intersections successives des génératrices; ces droites sont tangentes à l'arête de rebroussement, qui d'ailleurs divise la surface en deux nappes distinctes. Dans les surfaces coniques , l'arête de rebroussement se réduit à un point unique qui est le sommet; et dans les cylindres, cette arête se trouve transportée tout entière à une distance infinie.

3°. Le plan tangent d'une surface développable est commun pour tous les points d'une même génératrice rectiligne; et il coïncide avec le plan osculateur de l'arête de rebroussement.

4°. Dans le développement de la surface, les portions des génératrices, aussi bien que les arcs dune courbe quelconque tracée sur la surface, ne changent pas