CHAPITRE I. — SURFACES DEVELOPPABLES

de longueur absolue; et les tangentes à cette courbe forment avec les génératrices des angles qui demeurent constants. Mais il n'en est pas ainsi des angles de contingence, compris entre deux de ces tangentes consécutives; et par conséquent cette courbe a pour transformée une ligne dont la courbure n'est plus la même qu'auparavant (*).

ISO. Voyons maintenant de quelle manière on pourra remplir la condition qui a servi (n° 174) à la définition des surfaces développables. Prenons deux courbes quelconques AD et BC fixes dans l'espace; puis, assujettissons une FiG. 5i. droite mobile à glisser sur ces directrices , mais de manière que ses positions consécutives se trouvent deux à deux dans un même plan. Après avoir choisi sur la première courbe un point quelconque A', il ne faudra pas le joindre avec un point arbitraire de la deuxième, parce que rien n'assurerait que la droite ainsi tracée, serait dans un même plan avec la position très- voisine qu'elle prendrait ensuite (**); mais imaginons une surface conique qui ait pour sommet le point A' et pour base la courbe BG , et menons-lui un plan tangent qui passe (n° 125) par la droite A'T' tangente au point A' de la directrice AD; alors, si l'on construit la droite A'B' suivant laquelle ce plan touchera le cône auxiliaire, je dis que A'B' sera la position que doit prendre la génératrice de la surface développable, lorsqu'elle passe par le point A' de la directrice; et les autres positions A"B", A"'B",... s'obtiendront d'une manière semblable. Pour justifier cette construction, il suffit d observer que quand la droite mobile passera de la position A'B' à une position infiniment voisine A"B", elle pourra être censée glisser sur les tangentes A'A"T' et B'B'S' qui coïncident avec les vraies directrices dans l'intervalle des éléments A' A" et B'B" : or ces deux tangentes sont évidemment situées dans un plan unique, qui est le plan tangent que nous avons mené au cône auxiliaire; donc aussi les deux génératrices A'B' et A"B" se trouveront dans ce même plan.

181. Il suffirait même d'assigner une seule directrice ^our déterminer com- p^^^ 5, plétement la surface développable, si l'on assujettissait la droite mobile à de-

(*) On doit excepter néanmoins l'arête de rebroussement, pour laquelle les angles de contingence restent invariables , puisqu'ici ces angles sont formés par les génératrices entre elles , et que ces droites servent précisément de charnières pour exécuter le développement. Ainsi, paiexemple, l'angle AM 'A' demeure constant, aussi bien que son supplément MM' M".

(**) A moins qu'on ne voulût laisser immobile le point de la droite placé en A', et taire glisser seulement l'autre extrémité sur la courbe BC ; mais par-là on n'obtiendrait qu'une surface conique , genre trop particulier de surface développable pour que nous nous y arrêtions.

90 LIVRE m. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

meurer constamment tangente à cette courbe. Soit en effet VNU une ligne quelconque^ fixe dans 1 espace, mais qu'il faut choisir à double courbure, si l'on ne veut pas retomber sur un simple plan. Construisons les tangentes AMB, A'M'B', A"M"B",.... pour des points M, M', M",... extrêmement rapprochés sur la courbe; ce seront là autant de positions de la droite mobile, et je dis que la surface, lieu de toutes ces positions, sera développahle. Car les deux génératrices infiniment voisines AMB et A'M'B' ont de commun avec la courbe, l'une l'élément MM', l'autre l'élément M'M"; donc ces génératrices se coupent au point M', et par conséquent elles sont bien situées dans un même plan. Un raisonnement semblable s'appliquerait aux autres génératrices consécutives; ainsi il est certain que la surface, lieu de toutes ces tangentes, est développahle; et dans le cas actuel, la courbe directrice VNU est précisément l'arête de rebroussement, qui a toujours pour plans osculateurs les plans tangents (n° 177) de la surface développahle.

Voici encore quelques autres manières d'engendrer une surface dévelop-' pable. ' FiG. 53. 182. Si, sur une surface donnée que nous désignerons simplement par S, on trace une courbe fixe et quelconque GND ; puis, que par des points trèsvoisins N, N', N",.... pris sur cette ligne, on mène à la surface les plans tangents P, P' , P", qui sont ici figurés seulement par les droites NP, N'P ',.-•,

ces plans se couperont consécutivement suivant des droites AM, A' M', A" M'',.. qui se trouveront deux à deux dans un même plan. En effet, les deux premières ^ résultant des intersections du plan P' avec le précédent P et avec le suivant P",

sont évidemment situées l'une et l'autre dans le plan P'; de même les droites A' M' et A"M" sont toutes deux dans le plan P" , et ainsi de suite. D'où il résulte que ces diverses intersections déterminent une série de faces planes et angulaires AMA' , A'M'A", A"M'A"',... qui approcheront de former une surface continue, et évidemment développahle, d'autant plus exactement que les points de contact N, N', N ",.•• seront plus voisins sur la courbe CD. Or, pour atteindre à cette limite , il suffit d'imaginer que le plan P roule sur la surface S par un mouvement continu, en lui demeurant perpétuellement tangent le long de la courbe donnée GND ; alors on dit que la surface développahle en question est l enveloppe des positions que prend le plan mobile, parce qu'en effet elle est touchée par ce plan dans chacune de ses positions, puisque celles-ci ne sont autre chose que les prolongements des petits éléments superficiels AMA', A'M'A",.-- qui composent la surface.

l-SS. Ceci n'est point particulier à la surface qui nous occupe, et l'on peut