CHAPITRE I. — SURFACES DÉVELOPPARLES. gi

dire généralement que toute surface développable est [enveloppe des positions dun plan mobile assujetti à se mouvoir suivant une loi déterminée. En effet, dans le cas général, nous avons vu (n** 177) que la surface était touchée tout le long de la génératrice AB, par un plan unique qui renfermait la génératrice infiniment FiG. 5 1 . voisine A'B', et qui, par suite, était le prolongement de l'élément superficiel AM'A'; de même , le plan tangent consécutif serait le prolongement de l'élément A' M "A", et ces deux plans se couperaient suivant la droite A'M'B' ; de sorte que les diverses génératrices étant les intersections des plans tangents consécutifs, on peut obtenir ces droites, ou bien engendrer la surface développable, en faisant mouvoir un plan indéfini , de manière qu'il prenne successivement les positions AJM 'A', A'M"A",.... Mais, dans chaque surface particulière, le mouvement du plan mobile devra être réglé par une loi déterminée , c'est-à-dire par des conditions telles que ce plan ne puisse prendre qu'une position unique, pour chaque point de l'espace par lequel il passera.

184. Ainsi, par exemple , on peut assujettir le plan mobile à rouler sur deux surfaces fixes, en demeurant constamment tangent à ces deux surfaces, pourvu toutefois que ni l'une ni l'autre ne soient développables; car on doit sentir que la condition de toucher une surface de ce dernier genre, même en un point indéterminé, équivaudrait à deux conditions distinctes, parce que le contact s'étendi'ait nécessairement toiit le long d'une même génératrice (n" 177). Cette restriction est analogue à ce que nous avons dit pour les cylindres et les cônes dans les n°^ 118 et 125.

185. On peut aussi exiger que le plan mobile soit constamment osculateur (n" .167) à une courbe fixe, telle que la ligne VNU de la fg. 5 1 ; c'est-à-dire qu'il passe toujours par deux éléments consécutifs de cette ligne , qui alors deviendra évidemment l'arête de rebroussement de la surface développable , formée par les intersections successives du plan mobile.

186. Enfin on peut faire mouvoir ce plan de manière qu'il reste perpétuellement normal (n° 168) à une courbe donnée VNU; car on reconnaîtra, comme au n° 182 , que ses diverses positions se couperont consécutivement suivant des droites qui se trouveront deux à deux dans un même plan , et formeront ainsi une surface développable. Cette surface se réduirait évidemment à un cylindre, si la courbe donnée VNU était plane, puisque alors tous les plans normaux se couperaient suivant des droites perpendiculaires au plan de VNU, et par conséquent parallèles entre elles.

187. Examinons maintenant quelle condition doit remplir une courbe PP'X FiG. 5 i . tracée sur une surface développable quelconque, pour qu'elle soit la ligne la

plus courte entre deux de ses points P et X. Il faut et il suffit qu'elle devienne rectiligne après le développement de la surface; car, dans cette opération , nous savons (n° 179, 4°) que chaque transformée conserve la même longueur que la courbe primitive; et quand la surface est étendue sur un plan, il est bien certain qu'une droite est la plus courte ligne entre deux de ses points : donc , etc. Or, pour que la courbe PP'X admette une transformée rectiligne, il est nécessaire et suffisant que deux éléments consécutif s fassent toujours des angles égaux avec la génératrice intermédiaire, c est-à-dire que l'on ait pour chaque point delà courbe, la relation

angle MP'R = MP'P .

En effet, comme ces deux angles resteront invariables de grandeur quand on fera tourner le premier autour du côté commun MP', il est évident que lorsqu'ils seront amenés dans le même plan, les deux éléments PP' et P'P" se trouveront dans le prolongement l'un de l'autre, si la relation précédente est vérifiée. Telle est donc la condition que doit remplir la courbe PX pour être minimum : mais il en résulte une autre propriété qui mérite d'être remarquée. 188. La courbe miniîuum PX a tous ses plans osculateurs NORMAUX à la surface développable sur laquelle elle est tracée. Pour le démontrer, j'observe que , d'après la relation admise dans le numéro précédent, les deux tangentes consécutives PP'R et P'P"R' font des angles égaux avec la génératrice A'M'; d'où il suit que ces tangentes sont deux arêtes d'un cône droit qui aurait pour axe la hgneA'M'; et puisqu'elles sont infiniment voisines, on doit regarder le plan RP'R' comme tangent au cône dont il s'agit, le long de l'arête RP'. Mais, dans toute surface de révolution, le plan tangent (n" 129) est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact; donc ici le plan RP'R' est perpendiculaire siir le plan AM'A' qui contient l'axe du cône et l'arête de contact P'R. Or le premier de ces plans n'est autre chose que le plan osculateur PP'P" de la courbe proposée, et le second est précisément le plan tangent de la surface développable; par conséquent, il est vrai de dire que chaque plan osculateur de la courbe minimum , est normal à cette dernière surface. FiG. 53. 189. Cette propriété dont jouit la courbe minimum, est d'autant plus remarquable qu'elle se trouve également vérifiée, quelle que soit la surface sur laquelle est tracée une pareille courbe. Soit, en effet, GIND la ligne la plus courte entre toutes celles qui, sur une surface quelconque 8 , réunissent les deux poiirts

G et D : si, par tous les points N,N',N', de cette courbe, nous menons des

plans tangents à S, ils formeront, comme nous l'avons vu (n° 182), une surface