CHAPITRE lî

Des surfaces enveloppes.

190. On appelle surface enveloppe, ou simplement enveloppe, le lieu des intersections consécutives d'une autre surface mobile, qui varie de position et même de forme, d'après une loi déterminée. Ce lieu ayant, comme nous allons le voir, la propriété de toucher le long d'une courbe, chacune des positions de la surface mobile, est appelé avec raison l'enveloppe de toutes ces positions, tandis que ces dernières se nomment les enveloppées. D'ailleurs, par un motif que nous expliquerons plus tard (n** 203), on donne le nom de caractéristique à l'intersection de deux enveloppées consécutives, et c'est le long de cette caractéristique qu'a lieu le contact de l'enveloppe et de l'enveloppée. Ainsi, lorsqu'un plan se meut suivant une certaine loi (n*'* 182 — 186), il admet pour enveloppe une surface développable, lieu de ses intersections successives qui sont ici des droites , et voilà les caractéristiques ; tandis que les enveloppées sont les diverses positions du plan mobile, dont chacune touche l'enveloppe suivant une de ces caractéristiques. Mais pour mieux éclaircir ces notions générales, il faut considérer des exemples moins particuliers, et où les enveloppées soient des surfaces courbes.

191. Imaginons une sphère mobile, dont le centre O parcourt la verticale FiG. 55. OZ, et dont le rayon OA varie suivant une certaine loi; de manière, par exemple, qu'il coïncide successivement avec les diverses ordonnées OA, O'A',

0"A",... d'une courbe AA'X tracée dans le plan vertical de la figure. Alors deux sphères infiniment voisines, O et O', se couperont évidemment suivant un cercle horizontal projeté sur la coixle BC ; de même la sphère O' coupera la troisième O" suivant le cercle B'C, et ainsi des autres. Or tous ces cercles ayant leurs centres sur OZ et leurs plans perpendiculaires à cette droite, appartiendront (n° 78) à une surface de révolution qui touchera, en l'enveloppant, chacune des sphères mobiles. En effet, les deux cercles infiniment voisins BC et B'C se trouvant à la fois sur la surface de révolution et sur la sphère O', ces deux surfaces ont de communs tous les éléments superficiels situés sur la zone infiniment étroite BB'C'G : par conséquent elles ont l'une et l'autre les mêmes plan tangents, ou bien elles se touchent tout le long de cette zone. De même, la surface de révolution sera tangente à la sphère O" le long de la zone B'B"G"C'; ainsi cette surface générale est bien Y enveloppe de toutes les sphères qui sont les enveloppées , et le contact avec chacune d'elles a lieu le long d'un des cercles BC, B'C ',.••• qui sont les caractéristiques ou les intersections- de deux enveloppées consécutives.

192. Si l'on ne considère, pour un instant, que les grands cercles des sphères mobiles qui sont situés dans le plan vertical de la figure , on voit que leurs circonférences foraient, eu s' entre-coupant, une suite d'arcs BB', B'B",..., dont la ligne enveloppe donnera évidemment le méridien DBB'F de la surface de révolution. La forme de ce méridien dépendra de la loi suivant laquelle varieront les rayons OA, O'A', ; si, par exemple, tous ces rayons étaient con-

stants de grandeur, les caractéristiques seraient toutes des grands-cercles égaux entre eux, et le méridien une droite parallèle à OZ. Ainsi, lorsqu'une sphère constante de rayon a son centre en mouvement sur une droite, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourt est un cylindre de révolution.

195. Lorsqu'au contraire le méridien DBF d'une surface de révolution est assigné d'avance, il faut évidemment rendre chacune des enveloppées sphériques, langeute à ce méridien, en prenant les normales BO, B'O',.-- pour les rayons de ces différentes sphères; ainsi, l'on peut dire généralement que toute surface de révolution est l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère mobile , qui a pour rayon variable la portion de chaque normale comprise entre le méridien et l'axe.

194. Les surfaces de révolution admettent aussi pour enveloppée, une autre

FiG. 55. surface génératrice dont la forme très-simple en rend l'emploi fort utile dans

certains arts. Imaginons que par des points très-voisins M, M', M",., pris sur

le méridien FDY, on lui mène des tangentes MT, M'T', M"T", et qu'on les