CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES. rt/S

fasse tourner en même temps que le méridien, autour de Taxe YZ. Par-là, ces tangentes engendreront des cônes droits qui toucheront la surface de révolution chacun le long d'un parallèle ; car la tangente MT ayant avec la méridienne 1 élément MM' commun, tous les éléments superficiels situés sur la zone infiniment étroite MM'N'N, seront communs au cône TMN et à la surface générale; donc ces deux surfaces se trouveront tangentes l'une à l'autre tout le long de cette zone. D'ailleurs, deux cônes consécutifs, TMN "et T'M'N', se couperont évidemment suivant le parallèle M'N' qui réunit les deux zones de contact; d'où il résulte que toute surface de révolution peut aussi être regardée comme [enveloppe {*) de C espace parcouru par un cône droit variable TMN, qui se meut de manière que son sommet reste sur C axe, pendant que sa génératrice rectiligne demeure tangente à la méridienne.

193. C'est par ce mode de génération que les tourneurs exécutent des surfaces de révolution. En effet, lorsqu'ils présentent au solide animé d'une vitesse de rotation, le tranchant rectiligne de leur ciseau, ils produisent sur ce solide un tronc de cône qui est une des enveloppées de la surface générale qu'ils veulent obtenir; puis, en variant convenablement l'inclinaison du ciseau, ils engendrent une série de zones coniques qu'ils savent fondre ensuite les unes dans les autres, en intercalant de nouvelles enveloppées, jusqu'à ce qu'ils arrivent à une surface qui soit sensiblement continue.

C'est encore pai- le secours des enveloppes que les ferblantiers exécutent des surfaces développables ; car ils se servent d une enclume cylindrique ou conique, pour plier peu à peu la feuille de fer-blanc le long d'une série de droites tracées dans son plan; et celui-ci devient alors l'enveloppée mobile dont les petites zones élémentaires composent la surface générale, laquelle se trouve ainsi l'enveloppe de toutes les positions qu'a prises le plan mobile de la feuille de métal.

196. Outre les enveloppées sphériques ou coniques qu'admettent les surfaces de révolution , ces dernières pourraient être encore produites par le mouvement d'un cylindre. En effet, si par tous les points de la méridienne on mène des droites perpendiculaires à son plan, et que l'on fasse tourner ce cylindre autour de l'axe, l'enveloppe de toutes ses positions sera nécessairement la même

(* j II ne faut pas attacher à ce mot d'enveloppe l'idée d'une surface qui en renferme d'autres dans son intérieur. L'enveloppe peut être en dehors ou eu dedans des enveloppées , et l'on veut seulement exprimer qu'elle touch»; chacune de celles-ci tout le long d'une courbe.

g6 LIVRR III. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES,

surface de révolution que produirait la rotation de la méridienne ; car chaque arête de ce cylindre mobile a évidemment, pour courbe enveloppe de toutes ses positions individuelles, le parallèle de la surface qu'aurait décrit le point correspondant de la méridienne. .

Avant de passer à une espèce très-générale de surfaces enveloppes , qui manifestera une circonstance bien remarquable produite par les intersections des caractéristiques, étudions d'abord quelques propriétés des lignes enveloppes relativement aux courbes planes.

FiG. 56. 197. DÉV^ELOPPEES des courbes p Lunes. Soit ABX une courbe quelconque tracée dans un plan; concevons-la divisée en éléments égaux BB' = B'B" = B"B '".... et par les milieux de ces éléments, menons les normales infiniment voisines MC, M'C, M"C",.... qui, par leurs intersections successives, formeront une courbe CC'C".... a laquelle elles seront toutes tangentes. Cette courbe DGY, enveloppe de toutes les normales à la ligne primitive ABX, se nomme la dé^ veloppée de celle-ci ; tandis que la ligne ABX reçoit le nom de développante par rapporta la courJDe DCY ; ces dénominations vont être justifiées par les relations suivantes.

Le point C où se coupent les deux normales MG et M'C', élevées sur les milieux des éléments égaux BB' et B'B ", se trouve évidemment à égale distance des trois points B, B', B"; par conséquent G est le centre d'un cercle qui aurait, avec la courbe AX, deux éléments communs BB', et B'B". Or, comme on ne saurait assujettir une circonférence à passer par plus de trois points, c'est donc là le cercle qui, parmi tous les autres, approche davantage de se confondre avec la courbe AX dans les environs de B; aussi on l'appelle le cercle osculaleur de cette ligne pour le point B, Quant au rayon de ce cercle osculateur, ce serait à la rigueur une des trois lignes GB = GB' = GB"; mais on peut y substituer GM = GM', parce que ces diverses droites sont les rayons de deux cercles circonscrit et inscrit au même polygone BB'B", et l'on sait qu'à la limite, ou pour des éléments infiniment petits, ces deux circonférences coïncident (*). D'où il résulte que le centre C et le rayon MC du cercle osculateur, sont déterminés par la rencontre de deux normales infiniment voisines.

198. Gette droite MG s'appelle aussi le rayon de courbure de la ligne ABX

(*) Les lignes CM et CM' sont égales, attendu que les éléments BB' et B'B" étant ici de même longueur, les triangles rectangles CMB' et CM' B' seront égaux. D'ailleurs le premier de ces

- y,5,, CHAPITRE II. — DES SURFACES ElSVELOPPES. 9^

pour le point M, parce que sa longueur plus ou moins grande, indiquera une courbure plus ou moins faible. En effet, si nous voulons acquérir une idée nette de la courbure d'une ligne ABX, regardons-la comme un polygone que l'on aurait formé en pliant successivement une droite BB'6"//".... autour des points B', b'\ 6'",...; de cette manière, il est évident que la courbure au point B' sera exprimée par l'écart que Von aura mis entre les éléments B'b" et B'B", c'est-àdire par Y angle de contingence TB'T', ou plutôt par lare £ qui mesurerait cet angle dans un cercle dont le rayon serait l'unité. Or l'angle TB'T' égale l'angle MGM', et celui-ci comprend un arc de courbe MB'M' qui se confond avec le cercle osculateur décrit du rayon MG; donc l'arc s, semblable à MB'M', et décrit avec un rayon égal à l'unité, aura pour valeur

MB'M' BB' ds

^ ■ fe .K% ^ "" MC ~ MC ~7*

Mais comme la courbe ABX est divisée en éléments tous égaux entre eux, la quantité ds sera constante; et il résulte de la valeur précédente que la courbure, mesurée par e, variera d'un point à un autre de la ligne ABX, en raison inverse du rayon MG =p. ,1 . ! . v

199. Maintenant, si l'on plie un fil flexible MCG'C'Y le long de la développée, et qu'après avoir attaché fixement un des points de ce fil, par exemple Y, on donne à la partie rectiligne GM' une longueur telle que l'extrémité M aboutisse sur la développante ABX, cette extrémité parcourra exactement la ligne ABX, quand on déroulera successivement le fil en le tenant toujours tendu. En effet, lorsque le contact du fil avec la développée sera venu de G en G', la partie rectiligne du fil MG = M'G se sera accrue de GG', et elle aura alors pour longueur totale M' G -h GG' = M' G' ; mais, puisque cette dernière ligne (n" 197) est égale à M" G', il s'ensuit que l'extrémité mobile M aboutira précisément en M". Il en serait de même pour toutes les positions successives du fil , qui peut

triangles donne j cJaHiid-ii ■

■i' ' CM = v/CB'» - MB" — CET fî - ^) ^;

et, en développant , on voit que quand MB' sera infiniment petit, la différence entre CM et CB' ne sera qu'un infiniment petit du second ordre, quantité qui doit être négligée , même vis-à-vis de MB'.

98 IIVRE Ht. -^ SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

ainsi servir à décrire la développante, en le déroulant de dessus la développée; d'ailleurs, il résulte de là quW arc quelconque CG'G" de la développée, est égal à la différence des deux rayons de courbure MC et M"G" qui aboutissent à ses extrémités. ^'^'" Hi ■Uo'ilt \yA{i tii'-nwynHt'rjouf- hii-Ak\ w)

Observons en outre, qu'une courbe déterminée ABX n'admet jamais qu'une développée unique; tandis qu'une même développée DGY correspond à une infinité de développantes, puisqu'en prenant sur le fil MGG'Y divers points M, m,..., ils décriront des courbes différentes MM'M"X, mm'm"x^...^ qui seront autant de développantes de la même développée DGY. Toutes ces développantes aurent évidemment leurs normales communes, et se trouveront partout équidislantes dans la direction de ces normales; mais elles différeront beaucoup les unes des autres, quant à leurs propriétés et à leurs équations.

200. Pour citer quelques exemples simples de la théorie des développées , nous dirons que si la courbe ABX [ficj. 56) était une parabole du deuxième degré, sa développée se composerait de deux branches indéfinies, telles que DGY et DY', placées l'une au-dessous, l'autre au-dessus de l'axe AD, et qui viendraient s'y réunir en formant un rebroussement au point D. Ge point est éloigné du sommet A, de la quantité AD =^ 2 AF= le demi-paramètre, et cette droite AD est aussi le rayon de courbure de la parabole pour le sommet A.

^,. Dans une ellipse ABDE (fig. 76 ), dont les demi-axes sont OA = «, 0B = ^,

la développée est une courbe oL^âs composée de quatre branches qui présentent

autant de points de rebroussement, placés à des distances

jirjf)f';r/;vb ï>

Aa = Dâ=:~. B^ = EE = Çr'''''''''

ce sont là aussi les grandeurs des rayons de courbure pour les somriiéts A et B; car les deux branches aê et êcJ* servent à décrire la demi-ellipse ABD , tandis que les deux autres as et zâ se rapportent à la portion inférieure AED.

Dans un cercle, la développée se réduit à un point unique, qui est le centre , et le rayon de courbure est constamment égal au rayon même du cercle donné.

201. Mais, pour obtenir des résultats plus intéressants dans les applications que nous allons faire aux surfaces enveloppes, nous athiiettrons ici que l'on s'est donné immédiatement une développée circulaire YDFE, et qu'on en a déduit la développante YO'O'OX, eu déroulant un fil plié sm- le cercle, et dont l'extrémité mobile aurait d'abord coïncidé avec le point Y. Pour tracer graphiquement cette courbe, on divisera la circonférence eu parties égales,

- ' " CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES. gg

douze par exemple; puis, en portant sur les tangentes FO, F'O', F"0",.... des longueurs égales à -j%, -j\, -î^,.-- de cette circonférence, on obtiendra (n" 199) les divers points O , O', O",..- qu'il faudra réunir par un trait continu. Ce sera d'autant plus facile qu'on pourra employer à cet effet de petits arcs de cercle décrits avec les rayons FO, F'O', F"0",...; car ces dislances sont précisément (n° 197) les rayons des cercles oscillateurs de la courbe XOY.

Cette développante XOY sera une spirale indéfinie, ayant pour origine le point Y; et même on doit regarder la spirale Yo"ox symétrique de la précédente, comme étant une seconde branche de la même développante, et comme ne formant avec la première qu'une seule courbe dont toutes les parties sont décrites par le mouvement continu d'un point unique. En effet, si au lieu d'un fil plié sur la développée, on conçoit une droite inflexible et indéfinie ABFah qui, demeurant tangente au cercle CY, roule, sans glisser, sur sa circonférence, il est clair qu'un point O, fixe sur cette droite, viendra successivement se placer en O', O" et Y; puis, si la rotation de la droite continue dans le même sens, ce point O se trouvera dès lors en arrière du point de contact, et décrira sans discontinuité la branche Yox. D'ailleurs on doit apercevoir que cette manière de décrire une développante quelconque par la rotation d'une droite inflexible sur la développée, équivaut à la génération indiquée n° 199; mais le mode actuel est plus général, et il devient même nécessaire quand la développée offre des points de rebroussement , comme dans l'ellipse, la parabole,,.., puisque autrement il faudrait changer souvent le point d'attache du fil, pour le transporter d'une branche sur l'autre.

202. SURFACES CANAUX. Cela posé, imaginons qu'une sphère d'un rayon Yig. 54. constant, représenté par OA =OB, se meuve de manière que son centre suive la courbe horizontale XOYox; l'enveloppe de toutes les positions de cette sphère mobile sera formée (n" 190) par les intersections des enveloppées consécutives; ainsi, examinons ce que sont ici ces intersections. Pour deux positions voisines O et O' du centre mobile , les deux sphères égales se couperaient suivant un petit cercle , dont le plan serait évidemment perpendiculaire sur le milieu de la droite OO' qui joint les centres; par conséquent ce petit cercle serait projeté sur le plan de notre épure qui est horizontal, suivant une droite perpendiculaire à la corde 00', et passant par son milieu. Or, à mesure que le centre O' se rapproche de O, la corde OO' indéfiniment prolongée approche de plus en plus de la tangente à la courbe XOY, et elle coïncide avec cette tangente à la limite : donc, pour deux sphères infiniment voisines, la

lOO LIVRE III. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

courbe d'intersection est un grand cercle projeté sur la normale AOB de la directrice XOY. Il suit de là que l'enveloppe peut être regardée comme engendrée par le grand cercle vertical AOB, dont le centre parcourrait la ligne XOY, tandis que son plan resterait normal à cette ligne ; ainsi , cette enveloppe présentera la forme d'un canal curviligne qui aura pour axe la courbe directrice XOY, et dont toutes les sections normales à cet axe seront des cercles d'un rayon constant.

205. Ces conséquences continueront évidemment d'avoir lieu, quelle que soit la nature de la ligne XOY ; c'est-à-^ire que si l'on adopte successivement diverses courbes pour directrices du centre de la sphère mobile, on obtiendra des enveloppes de formes très-variées, mais dont chacune aura pour section normale un cercle du rayon OA. Ainsi, ce cercle devient une génératrice de forme invariable, commune à toutes les surfaces qui enveloppent t espace parcouru par une sphère d un rayon constant, et qui imprime à toute cette jfomi7/e d'enveloppes, un caractère distinctif et indépendant de la nature de la directrice XOY j c'est pourquoi MoNGE a donné le nom de caractéristique à ce grand cercle normal , et généralement il appelle ainsi l'intersection de deux enveloppées consécutives, dans chaque famille d'enveloppes engendrées par une même surface mobile, quelle que soit la loi du mouvement de cette dernière surface.

204. Nous avons dit (n° 190) que l'enveloppe toucherait chacune des enveloppées particulières précisément le long de la caractéristique, qui est ici le grand cercle vertical et mobile AOB. En effet, trois positions infiniment voisines, S, S', S", de la sphère mobile, se couperont suivant deux cercles situés l'un et l'autre sur la sphère S', et ils y comprendront une zone infiniment étroite, de largeur inégale, mais qui sera commune à S' et à l'enveloppe; de sorte que ces deux dernières surfaces ayant les mêmes éléments superficiels , ou les mêmes plans tangents tout le long de cette zone , se trouveront bien tangentes l'une à l'autre dans cette région commune, qui d'ailleurs comprendra, vers son milieu, la véritable caractéristique ou le grand cercle normal à la courbe XOY. Ainsi , il est vrai de dire que le contact a lieu le long de cette caractéristique.

FiG. 54- 205^ Maintenant, comparons entre elles les diverses caractéristiques projetées ici sur AOB, A'O'B',...., et pour faire mieux ressortir les circonstances assez délicates de leurs intersections, imitons le procédé indiqué vers la fin du n 201 pour décrire la développante : c'est-à-dire, imaginons que le plan vertical AOBF de la caractéristique soit inflexible et indéfiniment prolongé; puis, faisons-le rouler, sans glisser, sur le cylindre vertical FDYE auquel il demeu-