CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVEfcOPPES. loi

rera tangent; alors le cercle AOB, entraîné avec le plan mobile, parcourra nécessairement l'enveloppe qui nous occupe , puisque les conditions précédentes reviennent évidemment à dire que le centre de ce cercle se mouvra sur la développante XOY, tandis que son plan restera normal à cette courbe. D'ailleurs, tous les points de cette circonférence mobile, projetés en B, R,..., A, décriront d'autres spirales BD, RL,..,, AA'E , qui seront autant de développantes du cercle FDY, et dont la première et la dernière formeront le contour apparent de l'enveloppe. >t •)] Jnob ^Ibî jd Àbu>, '

206. Gela posé, tant que par la rotation du plan vertical AF sur le cylindre FDY, l'extrémité B du diamètre du cercle mobile n'aura pas atteint la développée, deux caractéristiques consécutives ne se couperont pas ; car on sait (n" 197) qu'une normale quelconque A' F' à la courbe XOY, ne serait rencontrée par la normale infiniment voisine qu'au point F' situé sur la développée , et ce point se trouve en dehors du diamètre A'B qui limite la projection de la caractéristique. Mais, dès que le point B aura touché le cylindre en D, les caractéristiques consécutives commenceront à se couper : en effet, la normale Ghg, par exemple, rencontrera la normale infiniment voisine au point L situé sur la développée ; et comme ce point se trouve en dedans du diamètre G^ = AB , il en résulte que les deux caractéristiques projetées sur G^ et sur la normale infiniment voisine , se couperont en deux points projetés en L, et situés l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan horizontal de l'épure. Toutefois, pour justifier complètement cette assertion, il faut ajouter que ces deux caractéristiques sont placées (n" 204) sur une même position de la sphère mobile; autrement, les plans de ces deux cercles pourraient bien se couper suivant la verticale L, sans que leurs circonférences eussent des points communs. - [

il résulte de là qu'à partir de la position DI, les diverses caractéristique» circulaires se trouveront partagées par leurs intersections consécutives, chacune en deux segments projetés

sur LG, MH, YP, VQ, UT, (iV) etsur Lg, MA, Y/?, V9, Ut. (n)

Les segments de la première série formeront une nappe que nous désignerons par (N) , et à laquelle appartiendront les caractéristiques totales AB , A'B',.-, tandis que les segments de l'autre série donneront lieu à une seconde nappe (n), qui commencera par être renfermée dans l'intérieur de la première, mais qtii bientôt en sortira pour s'étendre indéfiniment jusqu'aux ca-

ractéristiques totales a'b\ ab, Eq outre, ces deux nappes de l'enveloppe se

réuniront l'une à l'autre le long d'une ligne à double courbure projetée sur DLMYVUE, et qui n'est autre chose que le cercle vertical AB, dont le plan serait plié et enroulé sur le cylindre de la développée. FiG. 54. 207. Observons d'ailleurs que cette ligne à double courbure DYE , est une véritable arête de rehroussement pour l'enveloppe totale. Car, en se rappelant ( n° *10^ ) qu'un point quelconque Z de la caractéristique mobile , décrit les deux branches ZaêM et Myc^z d'une spirale dont le rehroussement est en M, on doit apercevoir que, quand le point mobile Z est en a ou en ê, il se trouve encore sur la nappe ( N ) placée au-delà des points de contact D ou L ; mais dès que ce point est arrivé en y ou t;n d* , il appartient à la nappe (n) placée en deçà des points de contact Y ou V ; par conséquent le passage de ce point mobile d'une nappe à l'autre , a lieu précisément en M , et la forme de la spirale en cet endroit prouve bien que ce passage s'effectue par un véritable rehroussement. Comme on en dirait autant des autres points de la caractéristique AB, il en faut conclure que la courbe projetée sur DMYE est une ligne de rehroussement pour les deux nappes de l'enveloppe.

Une circonstance analogue se reproduirait dans toutes les enveloppes , quelle que fût la surface mobile qui les engendrerait; c'est pourquoi MONGE a donné le nom général d'arête de rebroussement d'une enveloppe, à la ligne formée par les intersections consécutives des diverses caractéristiques; et nous en avions déjà rencontré un exemple remarquable ( n° i 78) dans les surfaces développables où les caractéristiques étaient des droites ( n° 190 ).

208. Revenons à l'enveloppe particulière qui nous occupait , et observons que les segments de caractéristiques L g, M/i,... qui appartiennent à la nappe (n) doivent être ponctués , parce qu'ils sont invisibles comme étant renfermés dans l'intérieur de la nappe (N). En effet, on a évidemment

Lê = LM<L£-h£M;

d'où, en retranchant la partie commune Ls, il résulte que

par conséquent , si l'on ramenait sur le cercle AOB les deux points projetés en £ et qui appartiennent l'un au segment LG, l'autre au segment M/i , le premier viendrait occuper une position s' plus voisine du point Z et par suite du centre O, que ne lest la position î" où viendrait se placer le deuxième ; donc le