CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. I

nous choisirons le plan vertical perpendiculaire au plan sécant, lequel aura ainsi pour traces PQ et QR'. Quant au cylindre, il sera représenté par la courbe ABDC qui en est le contour apparent sur le plan horizontal; et sur le plan vertical, le contour apparent sera formé par les deux droites GG' et W qui sont évidemment les traces de deux plans tangents perpendiculaires à ce plan de projection (n° 106). Nous supposerons de plus que le cylindre est terminé aux deux plans horizontaux GV et G'V.

218. Cela posé, le plan PQR' coupera le cylindre vertical suivant une courbe qui , d'après la situation actuelle des plans de projection , se trouvera évidemment projetée suivant ABDC sur le plan horizontal, et sur le plan vertical suivant la portion A'D' de la trace du plan sécant. Ainsi, dans ce cas très-simple , les projections de l'intersection sont connues immédiatement, et il n'y a pas lieu d'employer la méthode générale exposée au n° 210.

219. Rabattement. Pour connaître la véritable forme de l'iutersection, rabattons le plan qui la contient autour de PQ, sur le plan horizontal; ou plutôt, afin d'obtenir un résultat disposé symétriquement, faisons tourner le plan PQR' autour de la droite ( BC, B'), jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal. Par cette révolution , la trace verticale Q'R' deviendra l'horizontale (/'B', et un point quelconque de la courbe, par exemple (M, M'), décrira un arc de cercle perpendiculaire à taxe de rotation; donc cet arc sera projeté verticalement sur un arc égal M' m' décrit du centre B', et horizontalement sur la droite indéfinie MF parallèle à la ligne de terre. Alors, puisque le point M' s'est transporté en m' , si l'on projette ce dernier en m sur MF, on aura la position (m, m') que prend, après le rabattement, le point (M, M') de la courbe proposée. En opérant de même pour d'autres points , tels que A, D, E, F,... (*), on verra qu'ils se rabattent en a, (/, e,f,... ; et en réunissant ces derniers par un trait continu , la ligne amBdCna représentera l'intersection cherchée dans ses véritables dimensions.

220. Cette intersection est ici une ellipse, puisqu'en la comparant avec le cercle ABDC, on voit que pour les mêmes abscisses comptées sur la droite BC , les ordonnées perpendiculaires à cette ligue ont augmenté toutes dans le rapport constant de OA à B'A'; or on sait qu'une pareille modification change un

(*) Quoiqu'on puisse prendre ici ces points d'une manière arbitraire sur la base ABDC, il est bon, pour l'opération ultérieure du développement , de les choisir tous de manière qu'ils divisent la circonférence en parties égales.

no LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

cercle en une ellipse. D'ailleurs, comme il existait deux points M et N de la courbe primitive, qui avaient l'un et l'autre M' pour projection verticale, et que ces deux points se sont transportés sur une corde mn évidemment perpendiculaire à Ort , et dont le milieu est sur cette droite , il s'ensuit que la ligne aOd divise en deux parties égales et à angles droits, une série de cordes parallèles dans la courbe rabattue; donc aOd est un axe de l'ellipse, et par conséquent BOG est le second axe. : :>

22 1 . Cherchons maintenant la tangente de l'intersection pour un point quelv conque (M, M'). D'après la règle générale (n° 215), cette droite devant être située à la fois dans le plan PQR ' et dans le plan tangent du cylindre qui est le plan vertical MT, il en résulte immédiatement qu'elle a pour projections MT et M'Q. Ensuite, si l'on veut retrouver cette tangente sur le rabattement de l'intersection, on observera que le pied (T, Q) de cette droite décrit , comme nous l'avons expliqué pour (M, M'), un arc de cercle perpendiculaire à la charnière (BG , B'); de sorte que le pied de la tangente se transporte en t, et puisque le point de contact est venu en m, la tangente rabattue est donc tm. Gette droite devra toucher exactement la courbe amBd.

On peut encore observer que la tangente TMS de l'intersection primitive , allait rencontrer la charnière en un point (S, B'), qui doit demeurer immobile pendant le mouvement de rotation ; ainsi , il faudra que la droite tm, déjà déterminée , aille passer par le point S.

p, ro 222. Développement. Nous ayons vu (n° iSÏ) que, quand on développe un cylindre, la section droite qui est ici la base ABDG, devient rectiligne sans changer de longueur absolue ; et que les arêtes lui demeurent perpendiculaires. Si donc, en supposant qu'on ouvre le cylindre le long de l'arête (D, W) , ou porte sur une droite indéfinie, des longueurs

D"E'=DE, E F' = EF, F''B'' = FB, B' M' = BM,....0,

(*) Observons ici que, quand la courbe ABDC est quelconque , jl faut, pour rectifier les arcs DE, EF ,. ., les mesurer en employant une ouverture de compas qui représente une trèspetite corde sensiblement confondue avec l'arc partiel qu'elle soutend: puis, reporter sur la droite indéfinie D "D" le même nombre de fois cette ouverture de compas. Mais, quand il s'agit d'un cercle, comme dans l'exemple actuel , il est beaucoup plus commode et surtout plus exact, de prendre immédiatement la droite D"D"' égale vaux -^ du diamètre AD, puis de diviser cette droite en autant de parties égales qu'en contient la circonférence. Cela suppose d'ailleurs que les points de division de la base du cylindre ont été choisis eux mêmes à des distances égale» , comme nous l'avons recommandé dans la note du n° 219.

CîiAPlTRE II. — DES SECTIONS PLANES. I 1 1

et que par les points D% E", F",.- on élève des perpendiculaires égales à la hauteur VV du cylindre, on obtiendra, pour le développement de cette surface, le rectangle D"V"V"'D'". Maintenant, rapportons-y les points de l'intersection ; et à cet effet , rappelons-nous (n^ 162) que les portions de génératrices du cylindre, comprises depuis la base jusqu'à cette courbe, doivent conserver après le développement leurs longueurs primitives. Par conséquent, si nous portons sur les verticales du développement , des distances

D"(? = VD', E''£=KE', F"(p = IF',

et que nous réunissions par un trait continu les extrémités de ces hauteurs , nous obtiendrons, pour la transformée de l'intersection, la courbe c?£<pêjULacî*'.

225. Dans l'exemple actuel, où la base du cylindre droit est un cercle, la transformée sera composée d'abord de deux parties évidemment symétriques a(? et ccâ' ; car les deux arcs égaux AM et AN, qui répondent à deux points de la section projetée en M% fourniront sur le développement, des abscisses et des ordonnées respectivement égales; savoir :

A"M" = A"N" et M> = N"v.

En outre, chacune de ces parties, par exemple a&, se trouvera aussi composée de deux portions êa et ê(? égales , mais inversement placées par rapport à l'horizontale wê : cela résulte de ce qu'à partir de ê, les points <p et /jl, e et X, proviennent des points du cylindre F' et M', E' et L', qui se trouvent à des hauteurs respectivement égales au-dessus et au-dessous du point B'. D'ailleurs, la transformée totale n'est qu'une portion d'une courbe indéfinie (*) qui , d'après la

(*) GeUe courbe est une sinusoïde; car, si Ton appelle x l'abscisse horizontale et y l'ordonnée verticale du point ^ , comptées à partir du point S comme origine, puis que l'on désigne par x' =r B'U, j ' = F' U , les coordonnées du point analogue F' par rapport à l'origine B', il est évident que l'on aura les relations

X'=X, x'=sin BF=:sin B"F" = sin X, j' =ox',

en désignant par « la tangente trigonométrique de l'angle R'B'r/'. Donc, en éliminant les variables auxiliaires x', y' , il viendra pour l'équation de la transformée rapportée à l'origine 6,

y = a sin J7 ; ou bien j = oR sin - ,

en comptant, suivant l'usage analytique, les sinus dans le cercle dont le rayon est l'unité, et (Ifsiguant par R \e rayon du cylitidre actuel.

l I 2 LIVRE IV. — INTERSECTIONS. DE SURFACES.

relation existante entre ses coordonnées, admet une infinité de branches successives identiques avec â'aâ. On peut même , par la géométrie, faire naître ces diverses branches, en imaginant que le plan sur lequel on effectue le développement du cylindre, avait été roulé sur ce corps un nombre de fois indéfini, et en répétant les constructions antérieures sur le prolongement de la droite D D'.

224. Construisons maintenant la tangente de la transformée â'aâ pour un point quelconque jul. Nous savons (n° 162 , 3°) que cette droite est la position que prend, après le développement du cylindre, la tangente (MT, M'Q) delà courbe primitive; et que d'ailleurs l'angle de cette tangente avec l'arête du cylindre demeure invariable. Il s'ensuit que le triangle rectangle formé par cette tanpente, la verticale (M, M'H) , et la sous-tangente MT, reste aussi invariable de forme, et ne fait que tourner autour de cette verticale pour s'appliquer sur le plan du développement; il suffit donc de reproduire ici ce triangle dans ses véritables dimensions. Or, comme on a déjà la hauteur i^M" = M'H, si l'on prend M"T" égale à la sous-tangeote MT, l'hypoténuse T '|ul sera la direction de la tangente cherchée.

On pourrait aussi employer un triangle rectangle, opposé par le sommet au précédent, et qui a pour côtés la verticale (M , M'A) et l'horizontale (MS , fiB' ). Ce triangle demeurant encore invariable de forme, il suffira de prendre ^w = M'A et de tirer l'horizontale wêS" = MS; alors, enjoignant les points S" et jut., on obtiendra une droite qui devra se trouver le prolongement de T "p..

225. Il est important de remarquer qu'aux deux points (A, A') et (D, D') de l'intersection du cylindre avec le plan PQR', la tangente à cette courbe se trouvait parallèle à la trace PQ , puisque le plan tangent du cylindre en A ou en D est lui-même parallèle à cette trace. Il en résulte qu'en chacun de ces points, la tangente de la section formait un angle droit avec l'arête du cylindre; et comme cet angle doit demeurer invariable (n° 162, 3°) dans le développement de la surface, il faudra qu'aux points a, d^, d^', la transformée coupe encore à angles droits les verticales A"a, D"â, D"'â'.

226. Observons enfin qu'au point ê de la transformée, il y aura une inflexion ; c'est-à-dire que si l'on construisait, comme ci-dessus, la tangente en ce point, cette ligne traverserait la courbe, en laissant l'arc êa au-dessus d'elle, et l'arc êd* au-dessous. Néanmoins, il ne faut pas la regarder comme une sécante; car, bien au contraire, elle a dans ce point singulier un contact plus intime avec la courbe que celui d'une tangente ordinaire. En effet, d'après la symétrie que nous avons prouvé exister (n° 225) entre les deux parties êa et êc?, si nous riie-