CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES

conséquent la projection verticale de la tangente coïncide avec celle de l'arête du cylindre. D'ailleurs, les points e' et/' seront ici les limites qui séparent la branche visible efa'm'f de la branche invisible efd'h'f, pour l'observateur qui considère la projection verticale.

3°. Pour obtenir le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe, c'està-dire ceux où sa tangente est horizontale, il faut chercher d'abord sur la base ABCD, quelle que soit sa forme, les points A et G où la tangente sera parallèle à la trace horizontale PQ du plan qui coupe le cylindre : alors , si l'on construit par le procédé général le point (a, a') de l'intersection qui sera situé sur l'arête AA", je dis que la tangente en ce point se trouvera horizontale. En effet, cette tangente doit être (n** 213) Tintersection du plan PQR' avec le plan tangent le long de l'arête AA"; mais, par hypothèse, la trace horizontale KQ de ce dernier plan est parallèle à PQ; donc ces deux plans ne peuvent se couper que suivant une droite parallèle à PQ, c'est-à-dire horizontale. Il en serait de même pour l'arête GG", qui fournira un point (c, t') où la tangente de l'intersection sera encore horizontale. Ges deux points sont très-utiles à déterminer, pour tracer la courbe avec facilité et exactitude , sur les plans de projection.

240. Maintenant, construisons la tangente de l'intersection pour un point quelconque (m, m'). Ge point se trouve sur l'arête mM; e't le plan tangent du cyhndre le long de cette génératrice, ayant pour trace horizontale la tangente MT de la base, si l'on prolonge cette droite jusqu'à ce qu'elle coupe PQ en T, ce sera là un point de l'intersection du plan tangent avec le plan de la courbe , intersection qui n'est autre chose que la tangente cherchée (n° 215). Donc, en joignant le point de contact (m, m') qui est déjà connu , avec le point T qui se projette verticalement en T' sur la ligne déterre, on obtiendra Tmet TW pour les projections de la tangente demandée.

241. Rabattement. Pour obtenir l'intersection dans sa véritable forme, rabattons le plan PQR' sur le plan horizontal , en faisant tourner le premier autour de sa trace PQ; puis, cherchons ce que devient alors le point quelconque (m, m') de la courbe. Ge point ne sortira pas du plan vertical mV perpendiculaire à la chcirnière; et comme sa plus courte distance à cette droite est évidemment la ligne (mV, m'V), il n'y a qu'à évaluer, par le procédé général du n° 17, la véritable longueur de cette ligne, puis la porter de V en p., et ce dernier point sera le rabattement de (m, m'). Mais observons ici que, si l'on a employé, la méthode dun° 258, on connaîtra immédiatement la vraie longueur cherchée, car elle est évidemment Vm" ; de sorte qu'en décrivant avec cette droite pouirayon un arc de cercle, il ira couper la ligne VM au point demandé p.. De

même, les arcs de cercle décrits avec les rayons Y«" et Yc", fourniront les points a et Y ; et par des opérations semblables, on obtiendra la courbe aX]U.êv<pYc? pour le rabattement de la section droite du cylindre.

242. La tangente (mT, m'T') de la courbe primitive ayant son pied T situé sur la charnière PQ, ce point restera immobile pendant le mouvement de rotation ; et comme le point de contact (m, m') s'est transporté en |ut,, il s'ensuit que Tu, est le rabattement delà tangente, ligne qui devra toucher exactement la courbe aX|ULê au point fx.

245. Développement. Nous avons démontré (n° 166) que, parmi toutes les courbes »/rtnes tracées sur un cylindre quelconque, la section orthogonale était la seule qui devînt une ligne droite après le développement de la surface. Par conséquent il ne suffisait pas ici de connaître la base ABGD du cylindre, pour être en état de le développer; mais il fallait nécessairement chercher la section droite [abcd, a'b'dd')^ et même construire le rabattement aêyt? de cette courbe, afin de pouvoir mesurer chacun des arcs aX, Xp,,.... et de porter leurs longueurs rectifiées, à la suite les unes des autres, sur une même droite (*). Ainsi, en FiG. 6o supposant qu'on ouvre le cylindre le long de l'arête AA", on prendra sur une et 6 1 . droite indéfinie xy les distances

aaXa = aX, XafAa = X|Ul, /Jt-a^a = f-^^ ^2^2 = êv, ;

puis , par tous les points de division , on élèvera des perpendiculaires indéfinies sur la droite xy, et ce seront là (n° 161) les positions des génératrices après le développement. Ensuite , pour obtenir la courbe suivant laquelle se transforme, par cette opération , la base inférieure ABGD, il faudra porter sur ces perpendiculaires, les longueurs des diverses portions de génératrices comprises entre cette base et la section droite, lesquelles ont pour projections

'' (Aa, AV), {U, L7'), (Mm, MW),

et qui peuvent être évaluées par le procédé général du n" 17. Mais ici encore la méthode du n° 238 offrira un avantage sensible ; car elle fournira immédia-

(*) Nous avons déjà dit que, pour rectifier un arc tel que cCk, il faut employer une ouverture de compas qui soit contenue un certain nombre de fois sur cet arc, mais assez petite pour que la corde qu'elle représente se confonde sensiblement avec l'arc partiel que soutendrait cette corde.