CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES

tement pour ces longueurs, les droites rabattues suivant

Aa", U% Mm",....

que l'on transportera sur le développement en

et la courbe A2L2M2B2C2D2A3 qui pass«ra par les extrémités de ces droites, sera la transformée de la base AliMBGDA.

La transformée de la base supérieure s'obtiendrait généralement en portant, sur les perpendiculaires à x^ et au-dessus de cette ligne , des distances égales aux portions de génératrices qui seraient comprises entre la section droite et la courbe A"I/M"B", ; mais ici, où les deux bases sont parallèles, les longueurs des génératrices totales sont constantes : de sorte qu'il suffira d'évaluer la grandeur d'une seule arête (AA", A'A'"), laquelle est donnée par le rabattement AAj {Jiy. 60), puis de porter cette grandeur constante sur les diverses

perpendiculaires à xy, à partir des points A2, Lg, Ma, On obtiendra ainsi,

pour transformée de la base supérieure, une courbe A4L4M4G4A5 identique avec AjLaMjGjAg.

244. Observons ici que quand la base ABGD du cylindre sera un cercle, comme dans notre épure, ou même une ellipse dont un des axes BD se trouvera perpendiculaire aux génératrices, la section droite sera une ellipse dont les axes seront [hd^t/d') et (oc, a'c'). En effet, le plan qui serait mené par les deux arêtes BB" et DD" ayant aloi's, par hypothèse, sa trace horizontale BD parallèle à PQ, il devra couper le plan PQR' suivant une corde {bd, b'd') parallèle à PQ ; par conséquent cette corde sera perpendiculaire sur les tangentes de la courbe aux points [h , b') et {d, </'), puisque ces tangentes sont dans les plans verticaux BB" et DD". Ainsi, la corde horizontale {bd^ b'd') est nécessairement im diamètre principal , ou un axe de l'ellipse dans l'espace, et le second axe, qui est perpendiculaire au premier, est (ac, a'c'). Mais il faut observer que ces deux droites, en se projetant sur le plan vertical, ne restent pas perpendiculaires, et deviennent seulement diamètres conjugués de a'b'c'd'; tandis qu'elles continuent d'être les axes de la projection horizontale abcd.

D'après cette remarque, et si l'on a eu soin de prendre les points G et M,E et L, deux à deux sur des droites parallèles à PQ, la section orthogonale rabattue suivant aê-ytî^, se trouvera divisée parles génératrices eu arcs égaux et sy-

124 LIVRE IV — liNTERSEGTIONS DE SURFACES.

métriquement placés quatre à quatre ; de sorte que , pour rectifier cette courbe, il suffira de mesurer seulement les trois arcs aX, Xjut. et |ULê, puis de porter ces longueurs sur xy quatre fois de suite , mais en renversant Tordre de ces arcs à chaque série. Les longueurs des portions de génératrices offriront aussi des relations analogues, qui permettront de n'employer que la première moitié de ces droites.

j.jj^ gQ 245. Pour obtenir la tangente de la transformée, qui n'est autre chose que et 6i. ce que devient la tangente primitive TM de la base du cylindre, après le développement de cette surface, il faut se rappeler (n" 162) que, dans cette opération , le triangle projeté sur MmT reste invariable de forme. Or ce triangle est rectangle au point (m, m'); l'un des côtés projeté sur Mm est'déjà rapporté sur le développement en /XgMa; le second côté Tm a pour longueur véritable T/Lt qui est son rabattement : donc , si l'on prend sur xy la distance \i.^ï-2, = fxT , et que l'on mène l'hypoténuse T2M2, cette droite sera la tangente de la transformée au point M 3.

Puisque d'après ce que nous venons de dire pour un point quelconque , l'angle TaM^p-a formé par une tangente et par l'arête correspondante, demeure le même avant et après le développement, il s'ensuit qu'aux points Ag, Gj, A3, la transformée devra couper les génératrices à angles droits; car, sur le cylindre primitif, la tangente aux poiats A et G de la base, était évidemment perpendi-^ culaire sur la génératrice correspondante.

PROBLÈME 4. Etant donnés un cône droit et un plan, trouver, 1° les pro-^ jections de leur intersection; 2° le rabattement de cette courbe; 3^ le développement du cône et la transformée de t intersection , ainsi que les tangentes à ces diverses courbes.

Fi G 63 ^^6. Un cône droit étant une surface de révolution engendrée par une droite qui rencontre l'axe, toute section perpendiculaire à cette dernière ligne sera un cercle AGBD, que nous regarderons comme la directrice ou la base du cône, et dont nous adopterons le plan pour plan horizontal de projection. Le sommet étant projeté en (S, S'), le contour apparent du cône sur le plan vertical, sera formé (n" 106) par les deux génératrices S'A', S'B', qui répondent aux plans tangents AA'S', BB'S', perpendiculaires au plan vertical; et si d'ailleurs on admet, pour simplifier un peu les opérations graphiques, que celui-ci a été choisi perpendiculaire au plan sécant, ce dernier aura pour traces des lignes telles que PQ et QR'.

247. Gela posé, coupons le plan PQR' et le cône par des plans auxiliaires qut