CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES. laS

passent tous pnr le sommet ( S, S') , et qui soient en outre perpendiculaires au plan vertical. Un de ces plans auxiliaires aura pour traces , une droite S' F' menée par le point S' dans une direction arbitraire, et une droite F'KF perpendiculaire à la ligne de terre. Comme cette dernière trace rencontre la base ACBD du cône en deux points F et K, j'en conclus que les génératrices SF et SK sont les sections de la surface par le plan auxiliaire S'F'F; mais celui-ci coupe le plan PQR' suivant une droite nécessairement perpendiculaire au plan vertical, et projetée en (M', XNM ) ; donc la rencontre de cette droite avec les deux génératrices fournira, sur le plan horizontal, deux points M et N de la courbe demandée , lesquels seront d'ailleurs projetés verticalement en M'.

En répétant ces constructions pour d'autres plans auxiliaires , on obtiendra des points de l'intersection aussi multipliés qu'on le voudra; mais, pour l'opération ultérieure du développement , il sera utile de faire passer les traces horizontales des plans auxiUaires, par des points A , E, F, G,.... qui divisent le cercle en arcs égaux. Parmi ces plans, se trouveront les plans tangents AA'^S'^ et BB'S', dont chacun fournira un point unique (G, G') ou (H, H'); ce seront là deux sommets de l'intersection, car on voit aisément que la droite (GH,G'H') divise en deux parties égales et à angle droit, toutes les cordes parallèles à MN; de sorte que cette droite est un axe de la section conique. Cette courbe qui, dans l'exemple actuel, est" une ellipse, a pour projections GLMHN et G' H'.

248. La méthode précédente ne pourra pas servir à trouver les points de FiG. 63. Tintersection , situés sur les deux arêtes SC et SD qui se projettent verticalement suivant l'axe du cône ; parce qu'ici , les sections auxiliaires faites dans

cette surface et dans le plan PQR', se confondraient toutes sur le plan horizontal avec la droite CSD. Mais, si nous menons par le point V un plan sécant horizontal, il coupera le cône suivant un cercle du rayon I'V'=SV, et le plan donné suivant une droite (r,CD); par conséquent, la rencontre de cette ligne avec le cercle du rayon SV sur le plan horizontal, fournira les deux points demandés I et J.

Ce second procédé aurait pu aussi être employé pour trouver les autres points de l'intersection du cône avec le plan PQR' ; et d'ailleurs , il peut servira vérifier la position des points pour lesquels, dans la première méthode, la rencontre des arêtes et des droites se fait sous un angle trop aigu.

249. lia tangente en un point quelconque (M, M') de la courbe, est (n° 213) l'intersection du plan PQR' avec le plan tangent du cône le long de l'arête SMF. Or ce dernier a pour trace horizontale la tangente FT de la base

iVGBD ; ainsi , le point T où se coupent les droites FT et PQ , est un point de la tangente cherchée, et même ce point en est la trace horizontale; donc enfin, cette tangente est la droite (TM, QM').

250. Rabattement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QR', pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement, la droite ( MNX, M') évidemment perpendiculaire à la charnière, demeurera à angle droit sur cet axe de rotation , et prendra la position M'm ; donc, en portant sur cette dernière ligne , les distances

M'm=XM, M'n = XN,

on obtiendra les points m et n pour les rabattements de M et N. Tous les autres points se trouveront semblablement , et la vraie grandeur de la section sera glmihn.

Par suite des mêmes considérations, on verra aisément que le pied T de la tangente TM , se transporte à une distance Qt = QT, sur une perpendiculaire à la charnière QR' ; ainsi, en joignant les points t et m, on aura la droite tm qui devra toucher en m la courbe rabattue glmh.

FiG. 63. 251. Développement. Nous savons (n° 170) qu'une surface conique quelconque est développable , et que dans cette transformation, les génératrices ou des portions quelconques de ces droites, ne changent pas de longueur. Donc, puisqu ici où le cône est droit , les arêtes comprises depuis le sommet jusqu'à la base sont toutes égales, il est évident que les extrémités de ces droites se trouveront situées, après le développement, sur une circonférence de cercle ayant pour centre le sommet du cône et un rayon égal à S'A'. Ainsi , choisissons sur le plan où l'on veut exécuter le développement , un point arbitraire S" ; et avec un rayon S" A" = S 'A', décrivons un cercle sur lequel nous prendrons un arc A"B"A"' qui soit une fraction de la circonférence totale, exprimée par le rapport de SA à S'A' ; puis, tirons le rayon A'" S", et alors le secteur S"A"B"A"' représentera exactement la nappe inférieure du cône , développée sur le plan que nous avons choisi. Quant à la nappe supérieure, nous en faisons abstraction ici, parce qu'elle n'est pas rencontrée par le plan PQR'; mais, dans un autre exemple , nous verrons ce qu'il faut faire pour cette seconde nappe.

252. Maintenant, pour obtenir la transformée de l'intersection (GLMH, G'H' ) , et en admettant que le cône a été ouvert le long de l'arête ( SA, S'A') , prenons sur la circonférence A" B"A ' qui est elle-même la transformée de la base