A"E" = AE, E" F" = EF, F"C" = FG
puis, tirons les rayons S"E", S"F", sur lesquels il faudra porter des longueurs
respectivement égales aux portions de génératrices , comprises entre le sommet et les divers points de la courbe (GMH, G' H'). Or, si l'on considère, par exemple, le point (M, M') situé sur la génératrice ( SF, S' F'), et que l'on fasse tourner cette droite autour de l'axe , jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical , il est évident qu'elle ira coïncider avec l'arête ( SA , S'A'), tandis que le point M' restera sur une horizontale et se transportera en ju. : donc alors, S'il sera la véritable longueur de la droite primitive (SM, S'M'). Ainsi, après avoir mené par tous les points L', M',.--- des horizontales, il faudra porter sur les rayons du développement , les distances
et la courbe G"L"M"r'H"N"G'" sera la transformée de la section faite dans le cône par le plan donné PQR'.
255. Cette transformée, considérée en elle-même, ne se terminerait pas brusquement aux points G" et G'" ; mais elle se prolongerait en offrant une infinité de branches égales à G''H"G'", lesquelles finiraient cependant par coïncider exactement, si le rapport de l'apothème S'A' au rayon SA de la base, était un nombre commensurable : c'est ce que montre clairement l'équation de cette courbe, où il entre une fonction circulaire et périodique (**). Mais, pour se rendre
(*) Ici il ne s'agit pas de rectifier précisément les arcs AE|, EF,..., mais de les changer en arcs d'un rayon différent et de mêmes longueurs absolues que les arcs primitifs. Or, si l'on emploie des ouvertures de compas propres à représenter des cordes sensiblement confondues avec les arcs partiels qu'elles soutendraient sur le cercle ACBD, puis que l'on reporte ces ouvertures de compas sur la circonférence A"B"A"', on approchera encore plus de la vérité que si on les portait sur une ligne droite; par conséquent, le procédé est le même que pour rectifier les arcs AE, EF,... Toutefois, dans le cas actuel on opérera avec plus d'exactitude et de facilité, si, comme nous l'avons recommandé, on a eu soin de prendre les points A, E , F, à
égales distances sur la base circulaire , parce qu'alore il suffira de diviser l'arc total A" B "A" en autant de parties égales qu'il y en avait sur le cercle ACBD.
{**) Pour obtenir cette équation en coordonnées polaires, représentons parR, h, /,1e rayon FlG*. 63. de la base , la hauteur et l'apothème du cône ; soient d'ailleurs A=1'Y la hauteur du point I', S)
compte synthédquenaent de ces circonstances, il n'y a qu'à imaginer que le cône est enveloppé par une surface flexible , qui a fait un nombre indéfini de révolutions : alors, toutes ces nappes superposées ayant été coupées simultanément par le plan PQR', elles produiront, en se déroulant de dessus le cône, une infinité de branches identiques qui se construiront graphiquement en continuant de porter sur la circonférence A"B"A"', et au-delà du point A'", des arcs
où le plan PQR' coupe l'axe , et w l'angle de ce plan avec l'horizon : nommons enfin p la distance du sommet à un point quelconque (M , M' ) de la courbe , et a l'angle ASF, c'est-à-dire l'arc qui mesure cet angle dans un cercle dont le rayon est l'unité ; d'où il résulte que l'arc AF=Ra. Avec ces données, il serait bien facile de former les équations du plan et de la droite (SF, S'F'j, puis de trouver la distance du sommet à leur point de rencontre , distance que l'on égalerait à p ; mais nous pouvons y arriver plus promptement de la manière suivante :
Dans le triangle formé par l'axe du cône avec la génératrice (SF, S' F' ) , sur laquelle est situé le point (M, M') dont nous appellerons z la hauteur, on a évidemment
ensuite dans le triangle S'F' Y qui est la projection verticale du précédent, et où la droite
M ' O = ■ = ) on trouvera aisément
tang <•> tang w ' ■ ^
■■ ■> ■;.' • .:,; ■• . l'fï !;. • k — z . .
n'.h — zllRcosa: ;
: . , , . tang w
aloi-s si on élimine z entre les équations fournies par ces deux proportions , il viendra
h — R tang w. cos a.
Ce résultat contient deux variables p et a dont la première conserve la même grandeur sur le développement du cône; mais l'angle a est alors remplacé par l'angle G "S" M" = 9 qui correspond , dans le cercle du rayon /, à un arc A" F " dont là longueur absolue égale celle de l'arc AF dans le cercle du rayon R ; par conséquent on a la relation Ra = /9 , au moyen de laquelle on peut éliminer a de l'équation précédente qui devient enfin
h — R tang &j. cos g-
Cette équation que nous laissons à discuter par le lecteur, représentera toujours la transformée, soit que l'intersection primitive se trouve une ellipse , une parabole ou une hyperbole , en faisant attention que si » varie pendant que k demeure constant, on aura pour ces trois genres
R tangw <^ A , ou =./i , ou ^ h.
