CHAPITRE II.— DES SECTIONS PLANES. I

égaux à AE, EF, FG, avec des rayons vecteurs égaux à ceux que Ton a déjà

employés.

254. Quant à la tangente au point M" de la transformée , il faut se rappeler (n^ 170) que cette droite doit faire ici avec S" F", le même angle que formait primitivement la tangente (MT, M'Q) avec cette génératrice; et comme cela est vrai également de la tangente FT à la base, il s'ensuit que le triangle rectangle projeté sur MFT, demeure invariable de forme quand le cône se développe. Or, l'un des côtés de ce triangle est déjà rapporté sur le développement en M"P'; donc, si on lui élève une perpendiculaire F"T":= FT, et que l'on tire la droite T"M", cette ligne devra toucher la transformée au point M".

Il résulte aussi du principe que nous venons de rappeler, qu'aux points G", H", G", la courbe doit couper à angle droit le rayon vecteur correspondant; car, aux points primitifs (G, G') et (H, H'), la tangente de l'intersection se trouvait évidemment perpendiculaire sur la génératrice du cône.

SÎ55. Cas oii la section conique est une hyperbole. Soient toujours ACBD la FiG. 64base du cône droit, et A' S' 6', B'SV, les arêtes qui forment le contour apparent de cette surface sur le plan vertical : nous tiendrons compte ici des deux nappes, en les supposant terminées à deux sections horizontales A'B', a'b\ qui se trouvent également distantes du sommet , et qui par conséquent donnent lieu à deux cercles projetés l'un et l'autre sur ACBD. Quant au plan sécant , disposons-le de manière à couper les deux nappes du cône ; et en admettant toujours que le plan vertical lui est perpendiculaire, ses traces seront R'Q et QP.

256. La construction de la courbe d'intersection pourrait s'effectuer comme dans l'autre cas, au moyen de plans auxiliaires qui seraient menés par le sommet, perpendiculairement au plan vertical; mais à cause de la grande obliquité que présenteraient ici les sections rectilignes , il sera plus exact d'employer des plans horizontaux. Soit donc (x'y' un de ces plans; il coupe le cône suivant un cercle projeté sur /xMy, et le plan donné PQR' suivant une droite (M', XNM); par conséquent, les points M et N communs à ces deux sections sur le plan horizontal, appartiennent à la courbe demandée dont une des branches est ainsi (PMGINI, QG').

L'autre branche (RLHRV, H'R') se construira de même; et l'on pourra employer une section c^'X'=|x'7', laquelle fournira deux points (L, L') et (K, L') projetés encore sur le cercle (iMy. Nous ne répéterons pas ici ce que nous avons dit dans le problème précédent, sur les sommets et la construction de la tangente; mais nous allons passer à une recherche particulière au cas actuel.

1 3o LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

257. Lorsqu'une courbe admet une branche infinie, et qu'on éloigne de plus en plus le point de contact d'une tangente , cette droite varie de situation , et quelquefois elle se transporte tout entière à l'infini, en même temps que le point de contact, ainsi que cela se présente dans la parabole du second degré; mais, dans d'autres cas, il arrive que cette tangente variable reste toujours en deçà d'une certaine limite, qu'elle n'atteindrait qu'autant que le point de contact serait à une distance infinie. Alors cette limite des positions de la tangente se nomme une asymptote, et l'on énonce cette propriété d'une manière abrégée, en disant que l'asymptote d 'une courbe est la tangente pour un point de contact infiniment éloigné.

FiG. 64. 258. D'après cela, proposons-nous de construire les asymptotes de la section faite dans le cône , par le plan PQR'. Le point de contact d'une tangente de cette espèce, devant être à une distance infinie, se trouvera nécessairement situé sur une génératrice parallèle au plan sécant; si donc on mène par le sommet, et paralr lèlement à PQR', un plan S'a'a qui coupe le cône suivant les droites Sa et Se, ces deux arêtes seront celles qui contiennent les points de contact des asymptotes. Considérons la première , et rappelons-nous que le plan qui touche le cône tout le long de la génératrice Sa, quelque prolongée qu'elle soit, a pour trace horizontale la tangente a ô de la base; donc, l'asymptote qui doit être (n° 213) l'intersection de ce plan tangent avec le plan PQR', passera par le point Q où se rencontrent leurs traces ; et elle sera précisément la droite Q(ù parallèle à Sa , puisque ces deux plans sont l'un et l'autre parallèles à cette génératrice.

On construira de même l'autre asymptote ç)g.), qui sera parallèle à l'arête S€; et les deux asymptotes devront se couper en un point co, qui soit situé précisément au milieu de l'axe réel GH, c'est-à-dire au centre de la courbe.

259. Si l'on appliquait la méthode précédente au cas d'une section parabolique, ce qui exigerait que le plan PQR' eût sa trace verticale parallèle à S'A', on trouverait que les deux arêtes Sa et Se se confondraient avec SA; de sorte que cette dernière droite étant la seule génératrice du cône qui fût parallèle au plan sécant PQR', la section aurait bien encore une branche infinie, mais elle n'admettrait plus d'asymptote ; car le plan PQR' et le plan tangent le long de SA , qui devraient donner cette tangente par leur intersection , se trouveraient évidemment parallèles entre eux.

260. Rabattement. Cette opération s'effectuera comme dans le n° 250, en portant sur chaque droite M'm perpendiculaire à la trace verticale QR', des distances M'm =XM, etM'n = XN. Quant aux asymptotes, on rapportera d'une