CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. iSÎ

manière semblable leurs pieds d et 9, en 6' et 9'; puis, on joindra ces derniers points avec le centre (co, «') rabattu en w".

261. Développement. D'après les principes rappelés au n° 251, il faudra Fig. 64 décrire d'un point arbitraire S", et avec un rayon égal à l'apothème S'A', un et 65. cercle sur lequel on prendra un arc B"A"B"' qui soit à la circonférence totale,

dans le rapport de SA avec S'A'; et le secteur S"B"A"B*' représentera le développement de la nappe inférieure du cône, en supposant qu'on ait ouvert cette surface le long de l'arête (BSA, B'S'n'). Mais, comme la nappe supérieure se développe en même temps que la première, et par un mouvement contraire autour du somet qui peut être censé immobile, cette seconde nappe aplanie viendra occuper un secteur S"a"b"a"' égal au précédent, et dont les rayons extrêmes seront les prolongements de S"B" et de S"B"'. Pour rendre plus sensible la distinction de ces deux secteurs, nous avons supposé ici que la nappe supérieure se terminait à un cercle a^b^a^ d'un rayon un peu moindre que S"B", et nous avons ponctué les parties du secteur inférieur qui sont recouvertes par l'autre; cependant, pour effectuer les constructions dont nous allons parler, il faudra toujours opérer sur le cercle primitif B" A" B"'6".

262. Gela posé, sur le rayon S" A" qui divise en deux parties égales le premier secteur, on prendra la distance S"G" = S' G', et le point G" sera la position du sommet (G, G'). Ensuite, pour un point quelconque (M, M') de la courbe, on mènera la génératrice SMF dont la position S" F" sur le développement, s'obtiendra en prenant l'arc A'T"= AF; et comme la véritable distance du sommet au point ( M , M') est égale à S'/m' (n" 252), si l'on prend une longueur S"M"=S'p,', le point M" sera la position actuelle de ( M , M' ). Les autres points se détermineront d'une manière semblable , et la transformée de la branche inférieure de la section conique , sera F'M"G"N"r'.

Quant à l'autre branche, elle se trouvera divisée en deux parties séparées, puisque le sommet (H, H') était placé sur la génératrice B'S'a' suivant laquelle on a ouvert le cône, et que cette arête s'est transportée en S"a" d'une part, et de 1 autre en S" a'". On portera donc sur ces dernières droites, deux distances S"H" et S"H"' égales à S'H', et les points H", H'", seront les positions actuelles du sommet H'. Ensuite, pour un point quelconque (L, L') de celte branche, on tirera la génératrice SLG dont la position S"C" sur le développement, se trouvera en prenant l'arc a "G" = AG ; et sur le rayon S"G", il restera enfin à porter une longueur S"L"=;S'X' qui est la véritable distance du sommet au point (L, L'). Par des opérations analogues, on trouvera que la section faite dans la nappe supérieure du cône, a pour transformées les deux branches

t32 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

H''L"R"et H"'R"V", lesquelles doivent couper à angles droits les rayons S" a et S"a"'.

FiG. 64 265, Cherchons maintenant à retrouver les asymptotes , et observons bien et 65. que ces droites étant situées, non sur la surface même du cône, mais dans les plans tangents le long des génératrices Sa et Se, elles conserveront leurs positions primitives par rapport à ces arêtes autour desquelles les plans tangents ne font que tourner, lorsqu'on développe la surface. Commençons donc par déterminer ces arêtes sur le développement, en prenant les arcs A"a"=Aa, A"ê"=Aê, et tirant les rayons S"a" etS"ê" : ensuite, sur les tangentes aux points a" et ê", nous prendrons des distances a"0"=a$^^"(p"=§i:p^ et les droites ^"O, ^"0, respectivement parallèles aux génératrices S"a", S"ê", seront les positions actuelles des asymptotes primitives.

Le point O où ces droites se coupent, doit se trouver sur le rayon S" A", à cause de la symétrie des constructions précédentes, à droite et à gauche de ce rayon; mais il ne faut pas croire que ce point O est le même que l'intersection w des asymptotes primitives, car ces droites ont changé de position l'une par rapport à l'autre.

Néanmoins, les lignes 9"0 et (p"0 doivent se trouver asymptotes relativement aux diverses branches de la transformée. En effet, comme la forme de cette courbe doit toujours être la même, quel que soit le plan sur lequel on a développé le cône, nous pouvons concevoir que ce développement a été fait sur le plan tangent le long de l'arête Sa ; alors l'asymptote 5w qui se trouvait dans ce plan, a dû rester immobile , aussi bien que l'élément infiniment éloigné qu'elle avait de commun avec l'hyperbole : donc cet élément est encore commun à la droite 6"0 et à la transformée; par conséquent cette droite est bien une asymptote de la branche G"M"P". On raisonnerait de même pour les autres branches ; au surplus, ce résultat n'est qu'une conséquence de ce que nous avons démontré pour une tangente ordinaire (n° 170).

264. Sur le point d'inflexion. Dans la fig. 65, la branche de courbe H"L"R" qui commence par tourner sa concavité vers l'asymptote , finira nécessairement par présenter sa convexité à cette espèce de tangente; il doit donc y avoir un point d'inflexion sur cette branche , et il importe de pouvoir assigner l'endroit où arrive cette circonstance remarquable. Or on y parvient en s'appuyant sur le lemme suivant qui est facile à démontrer : Lorsqu'une droite est oblique à un plan, l'angle aigu qu'elle forme avec sa projection orthogonale sur ce plan, est le minimum de tous ceux qu'elle fait avec les diverses lignes tracées par son