CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES

16. On peut encore déterminer la grandeur d'une droite en la rendant parallèle à l'un des plans coordonnés, et en cherchant ce que devient alors sa projection sur ce plan.

Faisons tourner le plan projetant vertical de la droite {ab, a'b') (Jig. autour de la verticale du point a, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection. Dans ce mouvement le point b décrit un arc de cercle dont le centre est en a, et vient se placer en b, sur la droite ab, parallèle à la ligne de terre. Le point [b, b') restant toujours à la même hauteur, sa projection verticale b' se meut sur une parallèle à la ligne de terre; elle s'arrête au point b' t correspondant à b,. La droite a' b\ est donc la projection de la ligne devenue parallèle au plan vertical, et par suite elle est sa vraie grandeur.

Les pointe e et e,, traces horizontales de la ligne avant et après la rotation du plan projetant, doivent se trouver sur un même arc de cercle décrit du point a comme centre.

17. Si l'on voulait déterminer sur une ligne indéfinie (ae, aV) (Jig. 12 bu) un point (b, b') qui fût a une distance donnée du point [a, a'), on pourrait ramener la droite sur le plan horizontal en rabattant son plan projetant : elle se placerait en A,e. On porterait alors la longueur donnée de A, en B,, et il n'y aurait plus qu'à chercher les projections du point B, quand le plan projetant serait relevé. La projection horizontale est au pied b de la perpendiculaire B, b, et la projection verticale au point correspondant b' de la droite a'd.

On pourrait également résoudre le problème par la construction indiquée sur la figure 14.

18. Les plans projetants de deux droites parallèles AB, CD {Jig. i3) sont parallèles, et les projections ab, cd de ces lignes le sont également.

Pour mener par un point une parallèle à une droite, il suffit de tracer par les projections du point des parallèles aux projections de la ligne droite.

Lorsque deux projections ab et cd sont parallèles, les plans projetants le sont aussi, mais les droites pouvant avoir des positions quelconques dans ces plans ne sont pas nécessairement parallèles. Cependant si les projections sont parallèles sur deux plans coordonnés, les droites de l'espace seront parallèles comme intersections de plans parallèles.

Plans déterminés par diverses conditions.

19. Faire passer un plan par deux droites [ab, a' b 1 } et [cd, dd') [Jig. i5). Pour que le problème puisse être résolu, il faut que les droites se coupent. Cela

aura lieu quand les points m et m' où les projections se rencontrent sur les deux pians coordonnés, seront sur une perpendiculaire à la ligne de terre, et représenteront par conséquent un point de l'espace.

La trace verticale P' du plan passe par les traces verticales V et d des droites, et

S Livne I". — DES LIGMUS DROITES ET DES PLANS.

la trace horizontale I» par les traces horizontales a et d. Les deux traces du plan devront se rencontrer en un même point de la ligne de terre.

Si l'on avait négligé de s'assurer que les lignes données se coupent, on le reconnaîtrait en voyant que les droites ad, be" se croisent en un point de la ligne de terre, car alors elles déterminent un plan dans lequel chaque droite est située, parce qu'elle y a deux points a et // ou d etc\

La figure i$bis représente la solution du même problème avec une disposition différente des données.

90. Si l'on fait passer une droite par deux points pris arbitrairement sur les lignes données, ses traces seront sur les traces du plan. On peut employer cette construction, soit pour obtenir des vérifications, soit pour déterminer les traces du plan, quand, par suite de la disposition de la ligure, le tracé indique dans l'article précédent se trouve en défaut.

Sur la figure 16, l'une des droites données (cd, c'd) a ses traces éloignées, c'està-dire hors du cadre de l'épure. On prend sur cette ligne un point [g, g), et sur l'autre droite [ab, a'b') un point in, «'). Les traces de la ligne {ng, n'g') appartiennent aux traces P et P' du plan.

On opère de la même manière quand les deux droites données se coupent en un point de la ligne de terre, et quand elles sont parallèles à celte ligne {Jig. 17;. Dans ce dernier cas les traces du plan sont parallèles à la ligne de terre, et il suffit de déterminer un point de chacune d'elles.

21. Sur la figure 18 les deux droites par lesquelles il faut faire passer un plan sont [ma, m'a ) et (med, m'c'd' ,. La première est parallèle au plan vertical; le plan cherché devant la contenir, sa trace P* lui sera parallèle. Cette trace sera donc parallèle à la projection a' m'; elle passera d'ailleurs parla trace c' de la seconde droite, et rencontrera en un point de la ligne de terre la trace horizontale ad du plan.

22. Pour faire passer un plan par trois points, on déterminera les traces des droites qui passent par ces points; si ces lignes ne se présentent pas d'une manière commode pour l'exécution graphique, on prendra sur elles des points par lesquels on mènera de nouvelles droites qui, étant également dans le plan cherché, pourront servir à en déterminer les traces.

Si l'on donne un point et une droite, on obtiendra sur le plan autant de droites que l'on voudra, en joignant le point donné à divers points de la droite.

Pour mener par une droite donnée un plan parallèle à une autre droite donnée, il faut faire passer par un point delà première une ligne parallèle à la seconde; elle sera dans le plan cherché, qui sera ainsi déterminé par deux droites qui se coupent.

23. Faire passer par un point un plan parallèle à un plan donné.

On mène par le point une droite parallèle à une droite quelconque du plan : les traces du plan cherche passent par les traces de cette ligne et sont parallèles aux traces du plan donné.