Trouver le point d 'intersection de trois pions

On détermine les droites suivant lesquelles un des plans coupe les deux autres: ces lignes se rencontrent au point cherché.

Le problème est résolu sur h figure jt\. Les trois plans sont 1\ P' , Q, Q' et H, R' . Nous avons déterminé les trois lignes d'interjection suivant lesquelles ils se coupent deux à deux : ce sont les droites («r, fV), {ma, m'a'} et («A, n'b') \ elles se rencontrent au point cherché 's, s'}.

Le même problème est résolu sur la figure 7^ bis; nous en avons établi la ponctuation dans l'hypothèse que les plans donnés sont les laces d'un tétraèdre dont la base afte est posée sur le plan horizontal.

Les droites P et P' d'une part, R et R' de l'autre, doivent se couper en un même point de la ligne de terre. Si cela n'avait pas lieu, ces couples de droites ne représenteraient pas dos plans, et les diverses vérilications que la construction présente ne seraient pas satisfaites.

2ÎL Connaissant l'une des projections d'une droite située dans un plan donné, trouver fautn projection.

La projection connue détermine un plan projetant dont on cherche l'intersection avec le plan donné.

La construction est représentée sur la figure a5. On trouve que a'b' est la projection verticale de la droite qui est contenue dans le plan 1 P, P' . et qui se projette horizontalement sur ait.

."VO. Trouver le point où une droite perce un plan.

II faut faire passer un plan par la droite, chercher son intersection avec le plan donne, et prendre le point où cette ligne rencontre la droite donnée.

Soient I), I)' la droite tfig. 26) et [F, Y le plan. On détermine les traces a et tV de D, D'j ; eu les joignant à un point quelconque g de la ligne de terre, on a un plan ' ag, gl> qui contient la droite. Son intersection avec le plan donné est une ligne cd, c d' qui rencontre la droite donnée au point cherché [m, m 1.

51. On peut simplifier le tracé en prenant pour plan auxiliaire l'un des deux plans projetants de la droite, par exemple celui qui est vertical ; ses traces sont D

CflAPITRE II. - QUESTIONS DIVERSES. I I

et aa' [fig. 27); il coupe le plan (P, P'j suivant Ja ilroiic 1 D, a'b'). L'intersection de a' b' avec D' donne la projection verticale m' du point cherché ; on en déduit la projection horizontale m.

Si l'on veut avoir une vérification, on emploiera comme plan auxiliaire celui qui projette la droite sur le plan vertical. La construction est faite sur la figure.

Nous avons ponctué les figures 2G et 27, en supposant que le plan formait la face supérieure d'un polyèdre, et, par conséquent, que la droite devenait invisible au delà du point (m, m ).

Projections auxiliaires.

32. Quand l'une des projections d'une droite est perpendiculaire à la ligne de terre, le plan projetant correspondant est perpendiculaire à cette ligne, et, par suite, au deuxième plan de projection; ses deux traces, qui sur le dessin ne forment qu'une seule droite, sont alors les projections de la ligne.

La connaissance de l'une des projections de la droite suffit dans ce cas pour que l'on ait immédiatement l'autre, mais la droite elle-même peut avoir une position quelconque dans le plan perpendiculaire à la ligne de terre qui les contient. On peut déterminer la droite en donnant les projections de deux de ses points, mais ce mode de représentation ne se prèle pas immédiatement aux constructions de la géométrie descriptive.

D'ailleurs, si plusieurs droites importantes se trouvaient dans un même plan perpendiculaire à la ligne de terre, celte manière de les définir présenterait un peu de confusion, et ne ferait pas ressortir la forme des figures. Pour ces divers motifs, on emploie généralement un plan auxiliaire de projection ; on le prend le plus souvent perpendiculaire aux deux autres, et on le rabat sur un des deux premiers plans de projection, en le faisant tourner autour de sa trace sur ce plan.

33. Les lignes de la petite façade de gauche de la maison dessinée sur la planche I sont toutes projetées sur les droites eg, l'y' ; pour qu'elles soient déterminée» et représentées d'une manière distincte, nous allons les projeter sur le plan dont le* traces sont les droites X,Y et YZ,, perpendiculaires à XY. Nous supposons que l'on a rabattu ce plan sur le* plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace X, Y, qui forme une nouvelle ligne de terre.

Pour avoir sur ce nouveau plan la projection a" d'un point | a, a"), on remarque que les projections a et a* doivent être sur une même perpendiculaire à la ligne de terre X, Y, et que les hauteurs a, a" et a 0 a' indiquent l'une et l'autre l'élévation du point de l'espace au-dessus du plan horizontal, et sont, par conséquent, égales.

La droite qui projette le point {a, a'} sur le plan vertical en a', a pour projection sur le plan auxiliaire une horizontale qui perce le premier plan vertical en d. Dans le rabattement, cette droite tourne autour de la ligne de terre X, Y en lui restant toujours parallèle ; son point d décrit l'arc dd, , et elle se place en d, a".