CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES

Nous aurions pu résoudre le problème sans faire de rabattement, en déterminant les intersections des plans donnés par un plan auxiliaire quelconque ; ces lignes se coupent en un point de la droite cherchée.

37. Quand un plan contient la ligne de terre, ses deux traces se confondent avec elle, et ne suffisent plus à le déterminer. Il faut alors que l'on connaisse un de ses points, ou les angles qu'il forme avec les plans coordonnés; mais les constructions ordinaires ne peuvent pas être appliquées à un plan ainsi représenté, et il faut recourir à quelque artifice, tel que l'emploi d'un plan auxiliaire de projection.

Déterminer l'intersection d'un plan quelconque mec un plan passant par la ligne de terre et faisant un angle donné avec le plan horizontal.

Soit P, V) le plan donné [fig, 3o). Nous prenons un plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre, et nous le rabattons sur le plan vertical eu le faisant tourner autour de sa trace xz. La nouvelle trace de f P, P'; est a, b; la trace du second plan passe par le point x, et fait avec xX l'angle donné. Nous pouvons donc tracer cette ligne xi ; elle nous fait connaître le point E de l'intersection ; les projections e et e doivent être jointes au point g commun aux deux plans. La droite cherchée est donc i ge, ge'\.

38. On pourrait opérer de la même manière quand la position du plan qui passe par la ligne de terre est déterminée par un dé ses points (m, m') {fig.Zi), mais alors il est aussi simple de couper les deux plans par le plan horizontal qui contient le point donné. Les intersections ibe, xy) et [mi, xy} se rencontrent en un point {e, e'} qui appartient à la droite cherchée.

5î). Déterminer le point d' intersection d'un plan quelconque ' P, P') avec une droite i située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et donnée par deux de ses pomis • (a, a') et {b, b') (Jig. 3a).

Nous rabattons sur le plan vertical le plan projetant de la droite ; elle prend alors la position AU, et rencontre en M la nouvelle trace rs, du plan donné. Quand on relève le plan auxiliaire, le point cherché vient se projeter en (m, m').

Nous verrons plus loin que l'on emploie quelquefois des plans auxiliaires de projection qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne de terre.

Droites et plans peqtendiculaires.

f-0. Quand une droite est perpendiculaire à un plan, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan .

Soient P le plan de projection {fig. 33) et MN une droite perpendiculaire à un plan Q.

Le plan passant par MN et parla projetante M/n de l'un quelconque des points de cette ligne est perpendiculaire à chacun des deux plans P et Q, et, par suite, à leur intersection AB. Réciproquement AB est perpendiculaire à toutes les lignes du plan «MN, et notamment à sa trace mG, projection de MN.

l4 LIVRE 1". — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Quanti la projection MG «l'une droite est perpendiculaire à la trace AB d'un plan Q, ce plan est perpendiculaire au plan projetant, mais non pas nécessairement à la droite. Si cependant les projections de la droite étaient respectivement perpendiculaires aux traces du plan sur deux plans coordonnés, les deux plans projetants étant perpendiculaires au plan considéré, la droite, qui est leur intersection, serait perpendiculaire à ce plan.

4-1 . Mener par un jmint un plan perpendiculaire à une droite.

Soient la, a'} le point et ; D, D'j la droite i fig. 34). La trace horizontale du plan . clierclié est perpendiculaire à la projection D i art. 10 ; . La ligne dont les projections sont les droites ait perpendiculaire à D et a' b' parallèle à la ligne de terre, est donc parallèle à la trace horizontale du plan, et comme elle passe par le point a, a' qui doit être dans le plan, elle s'y trouve tout entière. La trace verticale// appartient donc à la trace verticale du plan. Les droites b' g et ge, respectivement perpendiculaires à D' et à D, seront les traces du plan cherché.

Il est évident que l'on peut également faire la construction en menant par le point a, a une parallèle à la trace verticale du plan.

Sur la figure Vj nous avons résolu le problème d'abaisser d'un point {a, a ] une /wrpendiculaire sur une droite f D, D' . La détermination du plan qui passe par a. à et qui est perpendiculaire à (D, D'), l'orme la première partie de la solution; il faut ensuite chercher le point (m, ni) où la droite indéfinie perce le plan l'art. 31), et le joindre au point donné.

La véritahle grandeur de la droite am, a' ni ) est la distance du point fa, a') à la droite il), D'j.

Yl. Si la droite donnée est dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, elle sera déterminée par deux points i,a, a'] et b, tV ; [fig. 35), et elle prendra la position AB, lorsque son plan projetant sera rabattu sur le plan vertical.

Le point donné est (m, ni); sa projection sur le plan auxiliaire, après le rabattement de celui-ci, est X.

Xous avons maintenant deux plans coordonnés dont la ligne de terre est .rs, et le problème à résoudre consiste à mener par un point (fflf, Nj un plan perpendiculaire ii une droite AB située dans le deuxième plan de projection.

On trouve que le plan cherché a pour traces sur nos deux plans coordonnés les droites G' et rS; il est facile de voir que sa trace horizontale est G.

4,"». Déterminer ta distance d'un point à un pian.

Il faut abaisser du point une perpendiculaire sur le plan, et trouver sa longueur.

Soient I». P'j le plan i fig. 36) et [a, a') le point; la perpendiculaire a pour projections les droites ab et a'b' respectivement perpendiculaires aux traces P et V; elle rencontre le plan au point (b, b' j (art. 51;, et en faisant tourner autour de la verticale de ce point le plan qui la projette sur le plan horizontal, jusqu'à le rendre