CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES

'e,e , et {b, b'\ 1 art. 14). Portant la longueur e,b' de e' en B', nous obtenons la projection B' du point {b, If) quand le plan des lignes est devenu parallèle au plan vertical. L'angle cherché est to'a'ë.

51. Par un point donné, faire passer une droite qui rencontre une droite donnée sous un angle donné.

Soient [a, a') le point (Jig. 43) et (D, D'y la droite. Après avoir tracé l'horizontale a' g, et déterminé ainsi le point \g, g" ) situé à la même hauteur que [a, a'), nous considérons le plan qui contient les droites D,D') et tag, a g 1 ), et nous le faisons tourner autour de cette dernière ligne de manière à le rendre horizontal. I n point quelconque i b, b' , de la droite donnée décrit un arc de cercle dont le centre se projette, sur le plan horizontal, au pied e de la perpendiculaire ahaissée du point // sur ; le rayon est égal à l'hypoténuse b'e, d'un triangle rectangle dont le coté b,e, est égal à be : art. il, . Portant donc cette longueur dans la direction eb, et joignant le point B ainsi obtenu au point g qui n'a pas changé, on trouve que la droite est maintenant lig, b l g' \. On trace sur le plan horizontal la droite aK faisant avec B#K l'angle donné; quand on relève le plan, le point K décrit un arc de cercle qui se projette sur la droite K* perpendiculaire à l'axe ag, et s'arrête au point k de la droite D. La ligne cherchée est {ai, a'k). Le problème admet une seconde solution, si le sens dans lequel l'angle doit être mesuré n'est pas déterminé.

On peut résoudre par cette construction le problème de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite, déjà examiné à l'article il.

On remarquera que sur les Jigures 4 1 et 43 il n'y a pas de traces, mais seulement des projections, et que, conformément aux observations de l'article 19, la position delà ligne de terre n'est utile que pour déterminer la ponctuation; la hauteur à laquelle elle se trouve n'influe en rien sur les tracés.

52. L'angle aigu d'une droite avec sa projection sur un plan est plus petit que les angles aigus formés par la droite avec les autres lignes du plan.

Soient ABla droite considérée {Jig. 42}, Ai sa projection sur un plan P, et Ac une droite du plan.

Prenons des longueurs égales A b et Ac, élevons bU perpendiculaire au plan, et joignons le point B au point c.

Les triangles BAA et BAc ont deux côtés respectivement égaux, et le troisième coté Bb du premier est plus petit que le coté correspondant Bc du second, parce que ces droites abaissées d'un même point sur un plan sont l'une perpendiculaire et l'autre oblique. D'après cela l'angle KAb est plus petit que BAc.ce qui démontre le théorème énoncé.

Si nous considérons les angles supplémentaires de ceux que nous venons d'examiner, nous verrons que BAe est plus grand que BA/, et par suite que tous les angles obtus formés par AB avec les diverses lignes du plan.

l8 LIVRE I". — DES LIGNKS DROITES ET DES PLAP»S.

I ne droit»» est perpendiculaire à un plan quand elle l'est à sa projection sur ce plan ; elle est couchée dans le plan quand elle se confond avec sa projection. D'après cela, on voit que l'angle, d'une droite avec sa projection sur un plan l'ait bien comprendre la position de cette ligne par rapport au plan; on dit que c'est l'angle formé par la droite avec le plan.

•*»,"î. < onstruire les angles d'une droite avec les plans de projection .

II faut déterminer les angles de la droite avec ses projections, en rabattant successivement ses deux plans projetants, comme nous l'avons, déjà l'ait pour trouver la distance de deux points art. 14,//),'. 12).

tii. Construire la projeetion rrrtieale d'une droite, connaissant un de ses points a') 'fig- 45), m projection ah sur le plan horizontal, et l'angle qu'elle fait met

er plan.

K» faisant l'angle ba\\ égal à l'angle donné, 011 a la projection de la droite lorsque son plat» projetant a été rabattu sur le plan horizontal X,Y, qui contient le point 11, a' . Une droite b\\ perpendiculaire à ah fait connaître la hauteur h ( h' à laquelle le point rabattu en B est placé, dans l'espace, au-dessus de X,Y,.

*».*» . t onstruire l'angle d'une droite avec un plan .

Bn jetant les yeux sur la figure on voit que l'angle BA h sous lequel une droit» rencontre un plan, est le complément de l'angle ABA qu'elle fait avec une perpendiculaire Wh abaissée de l'un quelc»»nque de ses points sur le plan.

D'après cela on obtiendra l'angle «l'une droite avec un plan, en abaissant d'un point <le la droite une perpendiculaire sur le plan f art. i.» i, et en cherchant l'angle île ces deux lignes art. 17).

'Mi. Déterminer l'angle de deux plans.

On coupe les deux plans par un troisième qui soit perpendiculaire à l'arête de l'angle dièdre qu'ils forment, et on détermine l'angle que comprennent les droit» s intersections «le ces plans par les plans donnés.

Soient (P, P) et (Q, Q'i les plans donnés [fig. 44 et 44 bis). La droite ha est la projection horizontale <le leur intersection, l ue droite rnn perpendiculaire à cett<li^ne peut être considérée comme la trace d'un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans donnés.

(le plan auxiliaire coupe les plans P, P) et (Q, Q'i suivant deux droites qui comprennent l'angle cherché et qui forment un triangle av»'C la ligne mn. Kn faisant tourner ce triangle autour de mn, le sommet décrit un arc de cercle dans le plan vertical ah, bb perpendiculaire à mn, et vient se placer sur ra en un certain point g qu'il s'agit <le déterminer.

La ligne rg considérée dans l'espace, avant son rabattement, est perpendiculaire à l'intersection des plans donnés, parce qu'elle est dans le plan auxiliaire. D'après cela nous obtiendrons facilement sa longueur en rabattant le plan vertical (ab,bh' ) sur l'un »les plans de projection. Si nous choisissons le plan vertical, los points

CHAPITRE II. — QUESTION* DIVERSES- 19 /et a se transportent en r, et a,, l'intersection des plans se plaee en //«,. et la perpendiculaire est la longueur qu'il faut porter sur la ligne m, à partir du point r, pour avoir le point g. L'angle cherché est mgn.

Si les deux plans ont leurs traces parallèles sur un des plans coordonnés, par exemple, sur le plan horizontal fig. 4<> . leur intersection sera horizontale et parallèle aux traces; le plan auxiliaire deviendra vertical, et la hauteur rg du triangle mngscra égale à la projetante bb'.

57. L'intersection des plans donnes f, f) et (Q, Q'; i fig. 44 J est perpendiculaire à toutes les lignes du plan auxiliaire qui passent au point g de l'espace, à celle qui va au point m, connue à « elle qui passe par r. Si donc nous rahattons le plan P, F} sur le plan horizontal, il sulïira d'abaisser du point m une perpendiculaire sur le rabattement de l'intersection, pour avoir la longueur du coté mg du triangle mgn.

Traçons du point b la ligne bi perpendiculaire à P, La droite qui va dans l'espace •lu point b' du plan vertical au point 1 du plan horizontal, est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les cotes sont bb' et A» ; sa longueur est b'i t ; elle rencontre perpendiculairement en i la trace P, et par suite, quand le plan tourne autour de la droite P, le point b, b' vient se placer sur le prolongement de bi, eu un point B, à une distance ÎB égale à b i,. Le rabattement de l'intersection est donc aB; il n'y a plus pour avoir le point g qu'à abaisser la perpendiculaire mG, et à ramener le point G sur la ligne ta par un arc de cercle.

Cette construction est un peu moins simple que la précédente; mais elle deviendrait plus facile si, pour des constructions antérieures, l'un des plans donnés avait déjà été rabattu.

On peut encore résoudre le problème en abaissant des perpendiculaires sur les [dans d'un point pris dans l'intérieur de l'angle que l'on veut connaître, et en construisant l'angle de ces lignes qui est supplémentaire de celui que l'on cherche. l£n prenant le point sur l'un des plans de projection, dans une position convenable par rapport aux traces, on sera assuré qu'il se trouve dans le dièdre que l'on considère.

58. Déterminer F angle que forme un plan avec le plan fiotizontal.

Soit P, P le plan i jig. 48 . Par un point quelconque g de P, concevons un plan vertical perpendiculaire à P; il coupe le plan horizontal cl le plan donné suivant deux droites qui comprennent entre elles l'angle cherché. L'une d'elles est la perpendiculaire gb à P, l'autre va du point g au point b' où la verticale bb', trace du plan auxiliaire, rencontre la trace P' du plan donné.

Faisons maintenant tourner le plan vertical bg, bb' 1 autour de bb' pour le rabattre sur le plan vertical de projection : le point g va en g, et l'angle cherché esté;,*.

On opérerait d'une manière analogue pouravoir l'angle du planavc cle plan vertical.

ao LIVI1E I". — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Changement des plans de projection.

.'»!). Il est quelquefois utile d'abandonner les plans coordonnés primitifs, pour en prendre d'autres qui, en égard à la nature du problème, soient plus convenablement placés par rapport a la figure de l'espace. Il faut alors déterminer les nouvelles projections des lignes données. Nous ayons déjà étudié cette question daus des cas simples i art. 32-."ît ;; nous allons compléter cette théorie.

Connaissant les projections tic divers points sur deua- plans coordonnés, trouver leur projection sur un plan vertical quelconque que l'on rabat sur te plan horizontal.

Soient [m, m ), ' p, p' ),..., les points donnés ftg. 4»> , et X,Y, la trace du nouveau plan vertical.

La nouvelle projection m" du point ni, m , doit être à une distance de la nouvelle ligne de terre X,Y,, égale à la bailleur du point au-dessus du plan horizontal, c'est-à-dire à la distance m u m' de la première projection verticale fri à la première ligne déterre XY. Donc, si nous traçons par le point m la perpendiculaire mm, à la ligne de terre X,Y,, et que nous prenions sur celte droite la distance wt, m" égale ii rn 0 m, le point m" sera la nouvelle projection verticale du point m, m"\.

Le point m" peut être placé indifféremment d'un cote ou de l'autre de la ligne de terre X,Y ( , parce que rien ne détermine d'avance le sens du rabattement du nouveau plan vertical. Tous les points qui, sur le premier plan vertical, ont leur projection du même coté de la ligne de terre XY que m', auront leurs nouvelles projections du même coté de la droite X, Y, que m\