Nous allons maintenant examiner le cas général

Connaissant les projections d'un point sur deut plans coordonnés, trouver ses projections sur dcu.r plans rectangulaires que l'on rabat sur les premiers.

Soient (m, m') le point [ftg. 47;, (P, P") un des nouveaux plans et (A, A') son intersection avec le second plan.

Nous rabattons le plan P, I*', sur le plan horizontal en le faisant tourner autour • de sa trace P, et nous allons chercher d'abord où se place la droite (A, A'j qui doit être notre nouvelle ligne de terre X, Y,.

Nous prenons un plan Un; ad vertical et perpendiculaire à la trace P, et nous le rabattons sur le plan horizontal. L u point quelconque r, r' de A, A') se projette sur ce plan auxiliaire en un point r" situé à la même hauteur au-dessus de rv que r l'est au-dessus de XY. Lorsque nous faisons tourner le plan P, P, autour de P, le point r, r décrit un arc de cercle et se place en r, . .Nous pourrions obtenir de la même manière un autre point de X,Y,, mais la trace horizontale b de la droite A, A' étant dans le cadre de l'épure, notre nouvelle ligne de terre se trouve déterminée.

Le plan (P, P, étant perpendiculaire au plan auxiliaire, sa trace P" sur ce plan pa*se par la projection r" de l'un quelconque de ses points.

CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES. al Nous obtenons la projection m" du point m, ni sur le plan vertical .rven opérant comme pour le point ir,r / ); nous projetons m" sur P" en n, puis, rabattant le plan (P, P sur le plan horizontal, nous voyons que la projection se place en ///,. La projection sur le plan perpendiculaire esl en m\, à une dislance de X, Y, égale à m" n.

Pour bien comprendre ces opérations, on peut supposer que le plan auxiliaire soit transporté parallèlement à lui-même jusqu'à passer par le point m, ni -, c'est la position qu'il faudrait lui donner, si l'on ne cherchait les nouvelles projections que de ce seul point.

Le point ///, peut être placé indifféremment d'un coté ou de l'autre de la droite X, Y, parce que rien ne détermine d'avance le sens du rabattement du second plan sur le premier. Tous les points qui sur le plan auxiliaire sont du même coté de P* que m", devront être sur le nouveau plan de projection du même cote de X,Y, que m\. Une observation analogue doit être faite pour les projections sur le plan (P, P' : : Un point tel que m, sera placé d'un cote ou de l'autre de la trace P, suivant le sens du rabattement.

Les nouveaux plans de projection ne sont pas l'un horizontal et l'autre vertical; cependant, dans Us questions abstraites, on les désigne souvent par ces expressions, et cela facilite le langage ; mais dans les applications les objets ont des positions déterminées, et on cesserait d'être intelligible si l'on appelait horizontales des droites qui sont visiblement inclinées à l'horizon (i).

Pour arriver à nos projections définitives nous avons construit une projection sur un plan perpendiculaire à l'un des anciens plans coordonnés, et à l'un des nouveaux. Cette projection intermédiaire est quelquefois utile par elle-même pour la solution du problème.

Nous allons maintenant étudier une question qui nous donnera l'occasion d'appliquer les tracés que nous venons d'expliquer.

<> I . Déterminer la plus courte distance de detuc droites qui ne sont /tas dans un même plan.

Nous supposons d'abord que le plan vertical est parallèle aux deux droites données (A, A' y et (B, B', [Jig. 49). Les projections verticales se rencontrent nécessairement en un point ni, car sans cela les droites de l'espace seraient parallèles, et par suite dans uu même plan.

La droite projetée sur le point ni esl évidemment perpendiculaire aux deux lignes et aucune autre sécante ne peut l'être, car sa projection verticale serait perpendiculaire aux deux convergentes A' et B [art. Ui , ce qui est impossible.

Si l'on se reporte à la construction que nous avons donnée pour avoir la distance

(1) Lu figure 1 ne doit jamais èlre appelée une projection horiiontale, mèio* quand on considère la droite XZ comme une ligne de terre.

M I.IVFIE l". — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

•Ii» deux points ail. 14., on reconnaîtra que la longueur nm de la perpendiculaire est plus petite que celle des autres droites qui ont leurs extrémités sur les deux lignes données.

Nous vovons donc que quand deux droites ne sont pas dans un même plan, elles ont une commune perpendiculaire qui mesure leur plus courte distance, et que cette ligne est immédiatement donnée de grandeur et de position quand les deux droites sout parallèles à un des plans de projection.

02. Supposons maintenant que les droites données A, A"; et fB, B" fig. 4<>) aient leurs projections horizontales parallèles entre elles, mais non pas à la ligne de terre X,Y, ; pour connaître la grandeur de la plus courte distance, nous n'aurons qu'à mesurer l'écartement des droites A et B; mais si nous voulons avoir la position de la commune perpendiculaire, il faudra prendre un nouveau plan vertical dont la li nec X Y soit parallèle à A et à B, et déterminer les projections A' et B' des droites sur ce plan; leur point de rencontre m' fera trouver sur le plan horizontal la ligne mn qu'on relèvera en m'n".

On eut pu rahattre le plan .YY sur le plan vertical -Y, Y, en le faisant tourner autour île la verticale du point Y. La droite YZ eût alors été la ligne de terre des deux projections, qui se fussent trouvées disposées comme les figures i et f\.