PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÉDRES

70. Un angle trièdre présente trois angles plans et trois angles dièdres ; nous allons voirque quand troisde ces six angles sontdonnés, on peutdéterminerlesautres.

Nous désignerons par ce, j9 et y les angles des faces, et par A, B, C les angles dièdres qui leur sont respectivement opposés. Nous considérerons toujours ces derniers comme représentés par des angles plans d'un même nombre de degrés.

Pour la facilité du langage, le plan de la figure sera supposé horizontal.

Premier cas.

71. Connaissant les faces a, /3 et y d'un angle trièdre, trouver les angles dièdres A, B et C.

Nous traçons par un point S {fig. 55) les droites Sb, Se, Sa et S*, comprenant entre elles les angles donnés, et nous considérons les deux espaces angulaires bSc et b, Sa comme les rabattrfncnts de deux faces de l'angle trièdre sur le plan horizontal de la troisième face cSaj

Prenons sur Sb et ib, deux points M et M, également éloignés de S, et traçons 1 n ■

livement semblables à IAB et JAC donnent

'** al ab ai ac

An + fll~ AB' Àfl + aJ - AC"

\ rapports sont égaux, vu la similitude des 'triangles ABC et abc, les longueurs AI et AJ sont "tyifc aussi égales, et par suite les points I et J se confondent.

a6 LIVRE 1". - DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

les droites MEm, M,Dm respectivement perpendiculaires à Sr et Sa; si nous relevons les deux faces rabattues, en les faisant tourner autour de Se et de Sa, les points M et M, décriront des arcs de cercle qui auront leurs centres en E et en D, et se projetteront sur Em et Dm. Ces arcs sont sur une sphère dont le centre est en S, et dont le rayon est SM ; le point de rencontre m de leurs projections est la projection d'un point de la sphère où ils se coupent. Les droites S/» et SA, se confondent donc lorsqu'elles se projettent sur S/n; l'angle trièdre est alors recomposé.

Lorsque la ligne EM est parvenue;» sa position définitive, elle forme avec sa projection V. m et la projetante du point M un triangle rectangle dans lequel l'angle en E mesure l'angle dièdre C. Nous connaissons l'hypoténuse et un coté de ce triangle, nous pouvons donc le construire. Si nous le rabattons sur le plan horizontal par une rotation autour de sa base mE, son sommet se placera au point m' où la droite mm' perpendiculaire à mE rencontre l'arc décrit du point E comme centre avec EM pour rayon. L'angle m' Em est l'angle cherché C.

On trouve de la même manière la grandeur m', lim de l'angle dièdre A. Les droites mm et mm', étant des rabattements d'une même projetante, doivent être égales.

Si le point m se trouvait à gauche de Se, l'angle C serait obtus, et on obtiendrai! sa grandeur en prenant le supplément de l'angle toujours aigu m'Em. Quand le point m est dans l'angle opposé au sommet à cSa, les deux angles A et C sont obtus.

72. Tous les points de la sphère dont nous avons parlé se projettent sur le plan horizontal, dans l'intérieur d'un cercle décrit du point S comme centre avec SM pour rayon. Quand les droites ME et M, L) se rencontrent hors de ce cercle, leur point d'intersection n'est la projection d'aucun point de la sphère, par suite les arcs décrits par les points M et M, ne se coupent pas, et il n'est pas possible de composer un angle trièdre avec les angles plans donnés.

Si nous faisons varier la grandeur de l'angle aSA,, ou y, le point m prendra diverses positions sur la ligne M«, et, d'après ce que nous venons de voir, quand il sera sur les prolongements de cette corde, le problème n'aura plus de solution. Or il est facile.de reconnaître que si le point m se trouve au delà de n ou en deçà de M, c'est que l'angle 7 est plus petit que la différence aSu. fig. 5; ou plus grand que la somme aSjl, de |9 et de a. Il faut donc, pour que l'angle trièdre existe, que l'un quelconque des angles plans soit plus petit que la somme des deux autres.

Si le problème n'avait pas de solution, on en serait averti par la construction même; l'hypoténuse Em' yfig. 55 ), qui est égale à EM ou En. se trouverait en effet plus petite que le coté V.m.

La discussion que nous venons de faire est complète pour le cas où l'angle AS a, somme des deux angles a et jS que nous supposons invariable, est inférieur à 180 degrés; mais quand il dépasse cette grandeur, c'est son supplément à 36o degrés qui est la limite supérieure de l'angle 7. Nous ne nous arrêterons pas à cette étude, qu'il est très-facile de faire sur une ligure établie pour ce cas.