CHAPITRE IV. - PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈDRES. 1"j

Il existe ainsi une seconde condition : l'angle dièdre n'est possible que quand la somme des angles plans est inférieure à 36o degrés.

75. Nous n'avojis déterminé que deux des trois angles dièdres; pour obtenir le troisième en conservant aux angle^donnés leur disposition sur la figun 55, nous traçons les lignes MG et M, H respectivement perpendiculaires à SA et àSA,; ceslignes comprennent dans l'espace l'angle H quand les laces cSA et aSA, sont remises en position ; elles forment alors un triangle dont la base est GH, et qu'on peut facilement construire rabattu sur le plan horizontal. Son sommet M' est déterminé par deux arcs de cercle ayant pour centres G et H, et pour rayons GM et HM,. L'angle GM'H est l'angle qfiercbé A.

Le plan du triangle est perpendiculaire à la troisième arête, sa trace GH doit être par conséquent perpendiculaire à la projection Sm de cette droite fart. 40). Dans le rabattement, le sommet du triangle se meut dans le plan dont la trace est Sm, et le point iM' où il vient se placer doit être sur cette ligne.

7i. Rien n'indiqué dans la construction si l'on a fait tourner les plans cSAet aSA, " «le manière à les élever au-dessus du plan de la ligure, ou à les abaisser au-dessous de lui : cela montre que les deux angles trièdres, qui peuvent être composés par ces mouvements différents, ont les mêmes angles dièdres. Ils ne sont pas superposables, mais symétriques.

On peut placer dans un ordre quelconque les trois angles donnés, ils correspondent toujours à un même angle trièdre et à son symétrique.

75. Le point X ifig. 55) est à égale distance des points M, et m, parce qu'il se trouve surjes axes des deux rabattements. On peut donc déterminer la position du point m' sur l'arc Mm', par un second arc décrit du point N comme centre avec NM, pour rayon. Nous allons donner un exemple de cette construction qui est préférable à celle que nous avons exposée, quand on ne cherche que l'angle dont l'arête est Se. ^

Dans le lever des plans, on a souvent besoin de réduire un angle à l'horizon, c'est-à-dire de déterminer la projection horizontale d'un angle connu y dont les cotés font, avec la verticale abaissée du sommet, des angles donnés a et p.

Cette verticale et les deux côtés de l'angle y sont les arêtes d'un angle trièdre dont on connaît les trois angles plans. La projection demandée est l'angle rectiligne qui mesure le dièdre des faces verticales.

Par un point S ( fig. 56; nous traçons quatre droites SA, Se, Sa et SA, formant entre elles les angles a, /S et y ; la seconde de ces lignes doit être verticale. Nous considérons les deux espaces angulaires ASe et A.Sa comme les rabattements de deux faces de l'angle trièdre sur le plan vertical de la face cSa.

Nous prenons un plan horizontal déterminé par une ligne de terre EN : il coupe l'arête SA en un point M que nous rapportons en M, sur le second rabattement SA, de cette ligne, par un arc décrit du point S comme centre.