CHAPITRE IV. — PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈDRES. ig

rabattons; son intersection avec la troisième face est alors la ligne Ky qui fait avec Kx l'angle donné A.

Toutes les données sont maintenant sur la ligure.

D'un point M de Sb abaissons une perpendiculaire M.\ sur Se: si nous concevons que la face 6Scsoit ramenée dans sa véritable position par une rotation autour de S<\ les points M, E et N seront les sommets d'un triangle dont deux cotés EN et E.M sont connus ; le troisième coté considéré comme une droite indéfinie, a un de ses points projeté en r, car lu plan du triangle est vertical.

En élevant rr\ perpendiculaire à xK, nous déterminons sur K y le point r\ du plan de la troisième face qui se projette enr; la grandeur de la projetante est donc rr\ . Si, par une rotation autour de EN, nous rabattons sur le plan horizontal le triangle dont nous avons parlé, le point qui se projette en rsc placera en f à une distance de EN égale à rr\ . La droite dont un segment forme le troisième coté du triangle est ainsi Nr'.

En décrivant un arc de cercle du point E comme centre et avec EM pour rayon, on détermine les points m', et m, qui peuvent être indifféremment adoptés comme sommet du triangle, ou rabattement du point M de l'espace.

Nous connaissons les distances de ces points au point N, et leur éloignement du point S qui est IIS; nous pouvons donc déterminer par des arcs de cercle leurs positions M, et M, quand la troisième face est rabattue sur le plan horizontal. On pourrait aussi déterminer les projections m, et m % , et abaisser de ces points des perpendiculaires sur Sa.

Les droites Ky et Nr' sont les traces du plan de la troisième face, sur les plans verticaux dont les lignes de terre sont Kj- et Ne. La construction pour déterminer Nr' revient à celle que nous avons exposée pour le changement du plan vertical de projection ! art. 59 1.

Pour avoir les grandeurs de l'angle C, il suffira de joindre les points /«', et m , au point E. L'angle B sera donné par la construction expliquée a l'article 75.

78. On obtient autant de solutions que le demi-cercle M/i a de points communs avec la droite indéfinie Nr'. Un point de rencontre de cette ligne avec l'autre moitié du cercle, correspondrait à un angle trièdre dans lequel l'angle dièdre le long de Sa serait supplémentaire de A.

D'après cette règle, et pourvu qu'on ait soin de faire toujours les rabattements dans le même sens, par rapport au sommet S, que sur la figure 39, on reconnaîtra facilement s'il y a une ou deux solutions, ou si l'angle trièdre est impossible.

Sur \* figure 59 bis, on ne trouve qu'une solution. Le point rabattu en r" et en r\ est au-dessous du plan borizontal.

Nous donnerons plus loin (art. 159 1 une solution différente et plus simple du problème de l'angle trièdre dans le troisième cas.

3o LIVRE I er . — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Quatrième cas.

79. Connaissant une face fi d'un angle trièdre et les deux angles dièdres adjarents A et C, trouver les deiur autres faces a et y et h troisième angle dièdre B.

Après avoir tracé deux droites Se et Sa ïfig. 60 ) comprenant entre elles l'angle donné fi, nous prenons deux plans verticaux respectivement perpendiculaires à ces deux lignes; leurs traces que nous considérons comme des lignes de terre sont PE fl QD. Nous plaçons ensuite sous les inclinaisons voulues les traces Em' et Dm, des plans des faces inconnues sur les plans verticaux qui leur correspondent. Toutes les données sont maintenant sur la figure.

Nous coupons les deux faces par un plan horizontal dont les traces verticales sonl les droites xyelx, v, respectivement parallèles aux lignes de terre, et situées audessus d'elles à une même hauteur, d'ailleurs arbitraire. Les droites d'intersection se projettent sur le plan horizontal suivant des parallèles à Se et Sa; leur point de rencontre m appartient à la troisième arète dont la projection est par conséquent Sm.

Il est maintenant facile de voir que si nous rabattons les faces sur le plan horizontal en les faisant tourner, l'une autour de Sr, l'autre autour de Sa, le point »/ de l'espace sera transporté d'un coté eu M et de l'autre coté en M,, et que par suite les angles plans cherchés sont bSc et A, Sa.