CHAPITRE IV. — PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÉDRES. 3l

81 . Si l'on connait les trois dièdres d'un angle irièdre, en prenant leurs suppléments on aura les angles plans de l'angle Irièdre supplémentaire que l'on résoudra par les constructions des articles 71 et 73. On aura alors les suppléments des angles plans de l'angle dièdre donné.

On pourrait par le même procédé ramener au troisième cas celui où l'on donne un angle plan, l'angle dièdre opposé et l'un des deux autres, et le quatrième au second; mais il est généralement préférable de traiter directement ces divers problèmes.

Angle trièdre trirectangle.

82. Connaissant les projections des trois arêtes d'un angle trièdre trirectangle. trouver les angles que ces droites forment avec le plan de la figure.

Nous supposons que les droites Sx, Sy et S; fig. 64 ; sont les projections des arêtes d'un angle Irièdre trirectangle, sur un plan que nous considérons comme horizontal.

La hauteur du plan de projection étant arbitraire, nous pouvons prendre un point quelconque C de la droite S= pour trace de l'arête projetée sur cette ligne. Les traces des plans zSx et ;Sv sont alors les droites CA et CB respectivement perpendiculaires à Sy et à Sx art. 40 1. La trace AB de la troisième face doit se trouver perpendiculaire à Ss.

Nous prenons un plan vertical dont la ligne de terre XY est parallèle à dSz. La projection de l'arête SC passera par C, et la trace du plan opposé par*/'; ces deux lignes sont d'ailleurs à angle droit, et par suite la projection S' du sommet est sur le demi-cercle qui a Cd' pour diamètre. L'angle en C donne l'inclinaison de l'arête S;; on obtient les inclinaisons des autres arêtes en faisant tourner leurs plans projetants, autour de la verticale du point S. jusqu'à les rendre parallèles au plan vertical.

85. On ne trouvera une solution que quand la perpendiculaire abaissée du point S surXY rencontrera le demi-cercle; mais on doit se demander si, cette condition étant satisfaite, l'angle trièdre que l'on obtiendra sera nécessairement trirectangle.

Reprenons les constructions. Nous menons d'un point C de S s deux droites CA et CB respectivement perpendiculaires à Sj et Sx, et nous traçons AB ; cette droite sera toujours perpendiculaire à S:, parce que les trois perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle sur le cotés opposés se*rencontrent en un même point. Nous sommes ainsi assuré que la ligne AB se projette verticalement en un point d', et nous pouvons déterminer une hauteur *S' du sommet, pour laquelle l'arête S; est perpendiculaire à la face xSy, et par conséquent aux deux arêtes Sx et Sy ; mais chacune de celles-ci est déjà perpendiculaire à la trace horizontale de la face qui lui est opposée, elle est donc perpendiculaire à cette face, et l'angle déterminé est trirectangle.

3a LIVRE I". — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Pour que la verticale fS' rencontre le demi-cercle, il faut que chacun des angles xSy, vS; et z Sx soit compris entre 90 et 180 degrés. Il est facile de voir, en effet, que si l'on fait tourner la droite Sx, de manière qu'elle fasse un angle aigu avec Sy nu avec Ss, le point a" passera en deçà de s { 1 ). *

Quand deux des droites données Sx et Sy sont à angle droit, la troisième S: doit être confondue avec l'une d'elles ou sur son prolongement, et le problème est indéterminé.

8 t. En modifiant l'ordre dans lequel les différentes lignes de la figure dit sont tracées, on y trouvera la solution des problèmes qui consistent à tracer la projection d'un angle trièdre trirectangle quand on connaît la projection Ss d'une arête, son inclinaison et l'iuclinaison d'une autre arête, ou bien les projections Ss el Sy de deux arêtes, et l'inclinaison de l'une d'elles.

(1) Si deux droites qui se rencontrent à angle droit dans l'espace, percent le plan horizontal l'une en A et l'autre en B, l'angle ASB de leurs projections est nécessairement obtus; il serait droit si les lignes étaient dans le plan de projection, mais il ne peut pas être aigu. Les deux angles BSC et CSA supplémentaires à 36o degrés doivent être obtus par la même raison 11 est d'ailleurs évident que quand ces conditions sont satisfaites, le point S se trouve entre la trace C et la droite AB, et que, par suite, la verticale iS' rencontre le demi-cercle.