CHAPITRE PREMIER

COURBES PLANES ET S UHF ACES COURBES.

Courbes planes.

Ho. I ne ligne est le lieu (les positions d'un point mobile; elle est plane quand le point se meut dans un plan lixe. Nous ne nous occuperons dans ce chapitre que des lignes planes.

En général, quand la» loi du mouvement ne change pas, la ligne ne présente ni angle ni point d'arrêt 11 ; elle se développe indéfiniment comme une droite, ou se replie sur elle-même comme un cercle.

Hti. Considérons une droite MX fig. 6">j qui coupe une ligne courbe en deux points, et faisons-la tourner autour de l'un d'eux M; le second point de section N

prendra successivement les positions n, n,, /»,, n 3 On conçoit qu'il y aura un

moment où le point N sera confondu avec M; la droite dans cette position unique êst dite tangente; elle n'a qu'un point de commun avec la partie considérée de la courbe.

M7. Les tangentes d'une courbe en deux points A et B peuvent être île cotés différents, comme cela a lieu sur la figme GC». Dans ce cas, il y a entre A et B un point i' inflexion M où la tangente est en partie d'un coté, et en partie de l'autre.

Si l'on suppose que la droite \\b se transporte en restant toujours tangente à la courbe, mais en des points de plus en plus rapprochés de M, le point de section b se rapprochera du point de contact B, et viendra se confondre avec lui en M. On voit qu'à un point d'inllexion, un point de contact et un point de section sont réunis, et que, par suite, il faut considérer la courbe comme ayant avec sa tangente un contact plus intime que dans le cas ordinaire.

! 1 1 Quelques courbes exceptionnelle» ne sont pas soumises à celle règle ; aimi la perspective de la logarithmique a deux points d'arrêt a distance finie, et la logarithmique elle-même en a deux à distance infinie. Mais nous ne devons pas nous occuper de ces singularilcs, qui n'ont aucune importance pour les questions que nous avons à examiner.

A un point d'inflexion, la tangente TT forme transition entre les sécantes qui coupent la courbe en trois points, telles que NP, et celles qui la rencontrent seulement au point M.

Lorsque la droite MA se meut en restant tangente à la courbe, elle tourne dans un certain sens jusqu'à ce «pie le contactait lieu en M; elle prend ensuite des positions parallèles a celles qu'elle vient de quitter. La tangente d'une courbe en un point d'inflexion fait donc avec une droite quelconque du plan, un angle plus petit ou plus grand que les tangentes aux points voisins; celle circonstance peut servir à la déterminer fart. 115).

88. Il arrive quelquefois qu'une courbe présente un rehmusscmcnl ijig. 67 ou 68,. Il faut concevoir que la vitesse du point mobile qui décrit la ligne diminue graduellement, devienne nulle en un point M, puis prenne une direction de sens contraire de manière que la position de la tangente varie d'une manière continue. Le rebroussemenl est de première ou de seconde espèce, suivant que les deux bras sont ou non d'un même coté de la tangente MT.

8». Une courbe telle que MA [fig. 691 présente un nœud ou point double en M,

Quand une courbe varie «le forme d'une manière continue, un rebroussement se présente quelquefois comme une feuille MA réduite à uu point. La ligne qui a un rebroussement est alors une transition entre les lignes qui ont un nœud et celles qui n'en ont pas.

lin général, on appelle point nudité un point par lequel passent plusieurs arcs d'une même courbe.

90. Quand on est assuré qu'une courbe ne présente ni nœud ni rebroussement, on peut obtenir uue tangente en faisant mouvoir une sécante d'une manière quelconque, jusqu'à ce que deux points de section viennent se confondre avec le point «jue l'on considère sur la courbe. Celle méthode est souvent plus commode que celle que nous avons indiquée à l'article 87.

91. La droite est la plus simple Avs lignes qui s'étendent à l'infini. Considérons une droite AB I fig. 701 et une sécante P/n, puis faisous tourner celte

dernière ligne autour d'un de ses points P. de manière que le point de rencontre m prenne successivement différentes positions m,, m 2l ... en s'éloignant îndéfiniment vers la gauche; dans une certaine position la sécante sera parallèle à AB, le pointdc rencontre, toujours unique, sera alors à l'infini sans qu'on puisse le supposer plutôt d'un coté que de l'autre. Si la sécante continue son mouvement de rotation, le point revient de l'infini par la droite de la ligure.

On voit qu'on peul considérer une droite comme une courbe fermée, dans laquelle uu point situé à l'infini forme la jonction des deux bras qui s'étendent dans les deux sens opposés.

Quand une courbe se développe indéfiniment, elle a ainsi un point situé à l'infini,