CHAPITRE 1". — COimBKS PLANES KT SrPFACES COURBKS

* et elle ne s'arrête pas plus à ce point qu'à tout autre; un second bras distinct du premier doit s'étendre vers le même point situé à l'infini.

Une courbe a autant de brandies infinies qu'elle a de points situés à l'infini. Chaque branche est formée de deux bras qui se rejoignent à l'infini.

92. Nous avons dit art. 8î» qu'une courbe ne présentait pas d'angle, c'est-à-dire que les deux parties «, M et NM fig. 65 ;, qui se réunissenten un point quelconqueM, ont la même tangente MT. 11 en est de même pour un point situé à l'infini ; les deux bras MC, QE 71 .!, qui s'y réunissent, ont la même tangente AB : cette droite est appelée <uri'mptote.

11 arrive quelquefois que la tangente d'une courbe au point situé à l'infini se trouve tout entière à l'infini: on dit alors que la courbe n'a pas d'asymptote.

On obtient une asymptote, comme toute autre tangente, en considérant une sécante MX, et en la faisant mouvoir de manière que les points de section M et N arrivent ensemble à l'infini. On peut prendre deux points M et Q sur les deux bras et les réunir à l'infini, en les éloignant indéfiniment en sens opposé; au moment où ils se confondent, la sécante MQ devient asymptote.

Quelques courbes présentent des points multiples et des rehaussements à l'infini; nous étudierons ces circonstances plus loin. Nous nous bornerons à dire ici que pour les lignes de ce genre on n'est pas assuré d'avoir une asymptote en faisant mouvoir une sécante de la manière que nousvenonsd'indiquer.ll faut pouvoir considérer une droite GH qui rencontre la courbe au point situé à l'infini, et la transporter parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'un point de section P rejoigne celui-là.

95. On considère quelquefois des courbes qui se modifient graduellement, comme ferait un cercle dont le rayon varierait et dont le centre parcourrait une ligne. Quand la courbe n'a ni point multiple ni rebroussement, et qu'elle n'éprouve dans sa forme aucun changement brusque, une sécante fixe ou mobile devient tangente dès que deux points de section se confondent en un seul. Si la réunion a lieu à l'infini, la droite est asymptote.

9f . Considérons le cercle déterminé par les conditions de toucher en un point M une courbe a|9 { fig 72}, et de passer par un autre point N de cette ligne. Si l'on suppose que le point N se déplace, le cercle se modifiera; il aura un contact plus intime avec la courbe, lorsque ce point de section sera réuni au point de tangence M. On dit alors que le cercle est osculateur.

L'arc NM n'existant plus, le cercle est du coté de la convexité de la courbe sur la gauche du point M ( fig. 73), tandis que sur la droite il est toujours resté du coté de la concavité : il la traverse donc en M sans cesser d'avoir la même tangente. Cette propriété est caractéristique du cercle osculateur, car si le point N continuant son ' mouvement passe à droite de M (fig. 71), l'arc de cercle compris entre eux se trouvera du coté de la partie convexe de la courbe.

Si l'on considère la série des cercles qui passent par un point d'une droite, et qui

ont leur centre sur cette ligne, on verra que l'un d'eus, relui qui a son rentre à * l'infini, se transforme en une ligne droite. 11 peut donc arriver que la tangente remplace le cercle oseulateur et en ait les propriétés; elle traverse alors la eourlie. rt il y a inflexion [art. 87).

A un point de rcbroussement le rayon du cercle oseulateur est nul; on le reconnaît facilement en considérant un rehroussement comme une feuille réduite à un point.

Le cercle oscillateur peul se trouver, près du point de contact, d'un même coté delà courbe. Cela arriverait si, quand le point X se confond avec M : 72 ,1e point I' s'y réunissait aussi.

ÎK». Considérons sur une courbe deux points M et C Jig.-L\\ peu éloignés l'un de l'autre, et les droites MO et GO qui sont perpendiculaires aux tangentes, c'està-dire normales ; en divisant l'arc M G par le nombre abstrait qui indique la grandeur de l'angle MOG, l'angle droit étant représenté par la moitié du rapport de la Circonférence au diamètre, nous aurons une longueur qui. si la courbe était un cercle, serait son rayon. Supposons maintenant que le point G se rapproche indéfiniment de M; plus l'arc M G sera petit, moins il différera d'un arc du cercle oscu-

lateur en M, et la limite du rapport ^— sera le rayon de ce cercle. L'angle MOG

est égal à celui des tangentes en M et en G; un l'appelle angle de contingence quanti le point G est infiniment voisin du point M : il est alors infiniment petit.

Le cercle oscillateur fait juger de la courbure d'une ligne en un point: plus son rayon est grand, plus la courbure est petite. D'après cela, le centre du cercle oseulateur est souvent appelé centre de courbure, et son ravon rayon de courbure.

96. Deux courbes sont tangentes quand elles sont touchées en un point commun par une même droite. Si l'une des courbes roule sur l'autre en lui restant toujours tangente, lorsque l'arc compris entre un des points où elles se coupent et le point de contact devient nul, il y a oscillation ou langent »' du second ordre, et les courbes se traversent. Si deux points de section se réunissent eu même temps au point tic contact, la tangence s'élève au troisième ordre, et les courbes ne se traversent pas.

Dans l'oscillation les courbes ont trois points communs réunis en un seul; dans la tangence du troisième ordre elles en ont quatre, et ainsi de suite, car on considère quelquefois des contacts d'un ordre plus élevé.

97. Une ligne regardée comme la solution d'un problème spécial peut avoir des points d'arrêt; ainsi le diamètre d'un cercle, lieu des milieux d'une série de cordes parallèles, est une droite limitée aux points où elle rencontre la circonférence; ainsi encore la projection horizontale d'un cercle situé dans un plan vertical est un segment de droite.

Les parties d'une ligne qui forment ainsi la solution du problème spécial dont on s'occupe, sont appelées utiles, et les antres parasites.