CHAPITRE l rr . — COURBKS PI.AISKS tT SURFACES COL'HBKS. 5j

98. Une courbe est géométrique qmnà elle est soumise dans sa génération à une loi déterminée; on la dit graphique lorsqu'elle a été tracée d'après des considérations de forme gracieuse, ou autres de même nature, qui ne sont pas susceptibles d'être mathématiquement définies. Les considérations que nous venons de présenter ne sont complètement applicables qu'aux courbes géométriques.

Une courbe graphique n'existe que là où elle est tracée; elle n'a donc ni partie parasite, ni branche infinie. Elle peut avoir des points d'arrêt et des angles; mais dans les parties où sa courbure parait bien continue, elle se présente comme une courbe géométrique, et les considérations que nous avons développées pour les tangentes et les rayons de courbure lui sont applicables.

Certaines lignes participent de la nature des deux genres de courbes dont nous venons de parler. Ce sont celles que l'on obtient en projetant les courbes graphiques, ou en leur faisant éprouver diverses autres transformations géométriques. Nous nous bornons quant à présent à signaler ces lignes.

99. Le cercle est la seule courbe géométrique qu'il soit facile de tracer d'un mouvement continu. Il existe pour quelques autres lignes des compas fort ingénieux, mais il y a presque toujours quelques difficultés à les ajuster et à les placer dans la position convenable pour l'arc que l'on veut avoir: aussi les instruments de ce genre ne sont que très-peu employés.

En général, pour tracer une courbe géométrique, on détermine d'après la loi de sa génération un nombre de points suffisant pour que sa forme soit bien déterminée, puis on les réunit par un trait continu que l'on corrige jusqu'à ce qu'il présente une apparence satisfaisante. C'est un travail auquel il est essentiel de formel son œil et sa main, lorsqu'on veut s'occuper des arts graphiques. Toutes les fois que la forme de la courbe n'est pas nettement accusée, il faut chercher de nouveaux points, ou mieux encore construire des tangentes. On doit éviter de trop multiplier les points: de petites erreurs peuvent s'introduire dans leur position, par suite de l'imperfection des tracés, et alors si leur nombre était très-grand, on serait conduit à donner à la ligne une courbure irrégulièrement ondulée qu'elle ne doit pas avoir.

Bien qu'en général on n'ait pas besoin de tracer sur de grandes longueurs les branches des courbes qui s'étendent à l'infini, il est cependant souvent nécessaire de déterminer les asymptotes, afin de bien comprendre la disposition des différentes parties.

100. Pour mener une tangente à une courbe graphique par un point donné hors de la courbe, on fait passer une règle par ce point, et on la fait tourner jusqu'à ce que son bord affleure la courbe. Sa position est alors bien déterminée.

On ne peut pas opérer d'une manière analogue quand c'est le point de tangence C qui est donné [fig-l*»)- La position limite de la règle présente alors beaucoup d'incertitude si la courbure de la ligne est un peu grande.

On prend alors sur la courbe deux ou trois points en deca du point C et autant au delà, on traee les sécantes qui passent par ces divers points et par le point C, et on les coupe par un arc de cercle décrit du point C comme centre. On porte sur chaque sécante Ca, h partir de l'arc, une longueur aa égale à la corde AC; enfin on trace une courbe par les points «, j8, ainsi obtenus : elle coupe l'arc de

cercle en un point c qui appartient à la tangente, car la corde doit être nulle sur la droite Ce.

Si nous faisons tourner la droite ACo autour du point C, il pourra arriver que dans une certaine position V/> la corde PC soit égale au rayon du cercle abc. Le point a sera alors en C, et la droite ACo, ordinairement sécante de la courbe auxiliaire, lui sera devenue tangente.

Si la courbe coupait l'arc de cercle sous un angle trop petit, on pourrait la modifier en portant sur les sécantes des longueurs doubles des cordes.

Les courbes auxiliaires du genre de celles que nous venons d'employer sont appelées tourbes d'erreur. Nous allons donner un autre exemple de ce mode de solution.

101. Lorsque l'on a tracé une tangente à une courbe graphique par un point extérieur, on a quelquefois besoin de déterminer son point de contact d'une manière plus précise qu'on ne pourrait le faire à la simple vue. Il existe pour cela une construction assez facile.

Nous menons des sécantes parallèles à la tangente TT' [fig. 76), et par les points où elles rencontrent la courbe, nous leur élevons de cotés différents des perpendiculaires sur lesquelles nous portons, à partir de la tangente TT', des ordonnées égales aux cordes déterminées, par la courbe donnée sur les sécantes. Ainsi les longueurs aa et a, a, sont égales à AA,. Les points a, b, c, c,, b,, a, étant déterminés d'après une même loi, appartiendront à une courbe qui passera évidemment par le point cherché, et qui sera continue si la proposée l'est.

La première sécante CC, doit être aussi rapprochée de la tangente que le permet la condition essentielle qu'il n'y ait pas d'incertitude sur la position précise des points où elle coupe la courbe. La seconde sécante Hit, étant également peu éloignée de la première, ou trouvera souvent que les quatre points b, c, c, et b t spnt à peu près en ligne droite. La ligne aMa, serait même rigoureusement droite, si la proposée était symétrique par rapport à sa normale au point M.

La courbe d'erreur coupe la tangente TT, sous un angle dont la tangente trigonoinélrique est é^ale à 2.

11 n'est pas nécessaire que lesordonnées soient exactement perpendiculaires à TT,; il sultit qu'elles soient bien parallèles ( 1 ).

(l) Kn modifiant librement la construction que nom venons d'expliquer, on résout le problème qui consiste à déterminer le point d 'une eourbe donnée où la tangente est parallèle h une droite donnée.