CHAPITRE 1 er . — COURBES PLAISES ET SUHFACES COURBES
102. On a souvent des moyens exacts pour tracer des tangentes aux courbes géométriques; dans tous les cas, on peut appliquera ces lignes les procédés que nous venons de faire connaître pour les courbes graphiques.
S'il s'agit de mener une tangente à une courbe en un point C [Jig. 75 ) , on appuiera la construction sur des points A, B, D, E qui auront été déterminés directement. Il ne sera pas nécessaire que la courbe soit tracée.
La construction exposée à l'article 101 pour avoir le point de contact d'une tangente exige que la courbe soit tracée ou au moins que l'on connaisse des points situés sur des parallèles à la tangente. La construction serait encore juste si les sécantes étaient soumises dans leur position à une même loi, mais on ne pourrait pas opérer sur des points A, B, C espacés d'une manière arbitraire.
105. On emploie quelquefois une courbe d'erreur pour déterminer, sur la normale d'une courbe , la position du centre du cercle osculateur, mais ces tracés exigent beaucoup de soin quand on veut opérer avec exactitude. On obtient le centre de courbure avec un degré de précision qui suffit généralement dans la pratique, en le supposant un peu loin sur la normale, et le rapprochant progressivement jusqu'à ce que le cercle, d'abord complètement extérieur dans la partie voisine du point de contact, arrive à traverser la cortrbe.
104. Supposons que l'on prenne sur une courbe un certain nombre de points, et qu'on les considère comme les sommets d'un polygone; cette ligure différera beaucoup de la courbe : mais en multipliant progressivement le nombre des côtés, on diminuera la différence, et on conçoit que si cette opération était poursuivie indéfiniment, le polygone se rapprocherait aussi indéfiniment de la ligne considérée. C'est ce que l'on exprime en disant qu'une courbe est un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits.
Cette considération permet d'étendre aux courbes les propriétés des polygones qui, comme les théorèmes de similitude, sont indépendantes du nombre et de la grandeur des côtés.
Nous voyons donc qu'il y a des courbes semblables entre elles : les grandeurs linéaires homologues y sont dans un même rapport; les cordes homologues comprennent des angles égaux, et si elles sont parallèles, les figures ont un centre commun de similitude.
105. La direction d'une ligne en un point est celle de sa tangente. L'angle de deux courbes qui se rencontrent est déterminé par l'angle de leurs tangentes au poiut commun. On les dit normales quand elles se coupent à angle droit.
Un diamètre est le Heu. des milieux d'un système de cordes parallèles. Un axe est un diamètre rcctiligne perpendiculaire aux cordes qu'il partage eu parties égales.
La projection d'un diamètre d'une courbe est évidemment uu diamètre de la projection.
4o LIVRE II. - CVLINDRES, UONfcS ET SURFACES DE REVOLUTION.
Surfaces courtes.
I0(>. l ue sii/face est le lieu des positions d'une courbe qui se meut et qui carie de forme suivant des lois continues. Cette courbe se nomme génératrice.
Une même .surface peut être considérée comme engendrée par une courbe mobile et variable, d'une infinité de manières différentes.
Quand la génératrice est assujettie à rencontrer certaines courbes, ces lignes prennent le nom de directrices.
Les génératrices et les directrices ne sont pas toujours planes, mais nous les supposerons telles jusqu'il ce que nous avons étudié les courbes qui ne sont pas comprises dans un même plan et que l'on appelle gauches. Cette restriction ne nous empêchera pas d'étudier les surfaces d'une manière générale, car on peut toujours les considérer comme engendrées par des courbes planes.
Nous supposerons enfin que la génératrice et les directrices sont des courbes géométriques.
107. Une surface peut avoir îles parties parasites. Si l'on considère un plan connue étant engendré par une droite toujours tangente à un cercle, la surface du cercle, quoique faisant partie du plan, ne sera pas compris? dans la définition.
Un cercle engendre une zone spbérique lorsqu'il tourne autour d'une droite qui rencontre la perpendiculaire élevée à £on plan par son centre. Les parties de la sphère situées en deçà et au delà de la zone sont rattachées à cette génération comme parties parasites.
108. Si trois couches A, B, C qui se croisent en un point M fig. 77) appartiennent à une même surface, leurs tangentes en ce point sont dans un même plan.
l'uni- le prouver, nous considérons la courbe A comme appartenant à un système de génératrices situées dans des plans parallèles. L'une d'elles a, peu éloignée de A, rencontre les courbes B et C en des points n et r, et les trois sécantes ,M«, Mr et nr sont dans un même plan. Ce résultai ayant lieu pour les diverses génératrices, tant en deçà qu'au delà de A, subsiste nécessairement pour la courbe A; les sécantes sont alors tangentes aux trois lignes considérées : leur plan est le plan tangent de la surliice.
Le plan tangent à une surface en un point, déterminé par les tangentes à deux des courbes de la surface qui passent par ce point, contient donc les tangentes de toutes les autres.
Ce théorème cesse d'être vrai quand la courbe génératrice a éprouve dans sa forme un changement brusque, au moment où son plan passe par le, point M. C'est un cas que nous aurons l'occasion d'étudier. 1
Une droite tangente à une surface est une sécante dont deux points de section sont reunis en un seul. Toute droite tangente à une courbe tracée sur une surface e>t tangente à la surface.
ClfAPITIlE II. — REPRÉSENTATION DES CONES ET DES CYLINDRES. 4l
La normale à une surface en un point est la perpendiculaire au plan langent en ce point.
109. Il résulte du théorème que nous venons d'établir, qu'une surface courbe peut être considérée comme composée de facettes, c'est-à-dire connue un polyèdre ayant un nombre infiui de faces infiniment petites, et, par suite, que les surfaces courbes ont toutes les propriétés des polyèdres qui ne dépendent ni du nombre ni de la grandeur des faces.
Les théorèmes de similitude s'étendent donc immédiatement des polyèdres aux surfaces courbes.
