DÉFINITION ET REPRÉSENTATION DES CVUNDRES ET DES CONES

Définition, représentation et principales propriétés du cylindre.

110. Un cylindre est une surface engendrée par une droite qui se meut en restant toujours parallèle à une même droite.

Pour définir un cylindre, on donne une droite à laquelle la génératrice rectiligue doit rester parallèle, et une directrice qu'elle doit rencontrer. Une infinité de courbes différentes peuvent être considérées comme directrices d'un même cylindre, mais dans les premières études nous prendrons toujours une ligne tracée sur le plan horizontal.

111. Connaissant la projection horizontale d'un point d 'un cylindre, déterminer sa projection verticale.

Soient A la trace du cylindre ijig. 79,1, (D, D'j la droite de parallélisme, et m la projection donnée.

La génératrice de la surface qui passe par le point cherché a pour projection horizontale la droite mn parallèle à D, et perce le plan horizontal au point n de la trace A. La projection verticale de la génératrice est la parallèle à D' menée par le point n'; il ne reste plus qu'à relever m en m' par une perpendiculaire à la ligne de terre.

La droite mn rencontre la trace A en un second point r, trace d'une autre génératrice dont un poiut se projette en m. On trouve ainsi une seconde solution m".

112. Si la ligne menée par le point m parallèlement à D ne rencontrait pas la trace A, il n'y aurait pas de solution. D'après cela les deux droites P et Q tangentes à A et parallèles à D sont, sur le plan horizontal, la limite de la projection des points du cylindre, ou son contour apparent. Si l'on suppose que la surface recouvre un corps en relief, ces droites devront être tracées en trait plein.

Le point (m, m' est plus élevé que le point [m, m"), et, par conséquent, il le I. 6

4a LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

cache sur la projection horizontale. Les génératrices qui ont leur trace sur l'arc pkq sont ainsi vues, tandis que les autres sont cachées.

Il peut arriver que la trace du cylindre considéré ait plus de deux tangentes parallèles à D, qu'elle n'en ait qu'une, ou même pas du tout. On discutera chaque cas comme celui que nous venons d'examiner.

1 13. Si l'on se donnait la projection verticale m' [fig. 79) d'un point du cylindre, par des raisonnements analogues et la même construction faite en ordre inverse, on déterminerait deux projections horizontales correspondantes m et m, .

La projection verticale de la surface est limitée aux droites K' et I' parallèles à D'. et menées par les points k et 9 où laJigne de terre est rencontrée par les tangentes kk et iï qui lui sont perpendiculaires.

1 1 11 cylindre est géométriquement délini par sa trace et une droite de paral- — — lélisme^ mais pour qu'il soit représenté, il faut ajouter les lignes de contour apparent; elles donnent d'ailleurs la direction des génératrices, et rendent inutile une droite de parallélisme.

Le corps, s'il existe réellement, sera limité, et pour le représenter il sera nécessaire d'avoir la projection de ses bases; mais nous ne nous occupons pas encore de ces questions.

115. Le plan tangent à un cylindre en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point.

Soient A et a {fig. 78) deux points quelconques d'une génératrice G; M et m deux courbes tracées par ces points, et G' une autre génératrice de la surface.

Les droites G et G' étant parallèles, déterminent un plan qui contient les sécantes L' et m des courbes M et m. Si l'on suppose que la génératrice G' se meuve sur la surface, en se rapprochant de G, les points B et b s'avanceront respectivement vers A et a, et se confondront avec eux quand G' sera réuni à G. Les lignes U et useront alors tangentes à M et m, et leur plan contenant la génératrice rectiligne qui est sa propre tangente en A comme en a, sera tangent en ces deux goints. Il le serait de même en tout autre point de la droite G.

La proposition que nous venons d'établir ne cesse pas d'être vraie quand la directrice du cylindre est une courbe graphique; mais on ne doit pas s'appuyer pour sa démonstration sur le théorème général du plan tangent aux surfaces géométriques (art. 108). Voici comment on peut raisonner : si nous concevons qu'un plan passant par la génératice G 'fig. 781 tourne autour de cette droite, lorsque le second point B où il coupe la directrice U sera réuni au point A, la génératrice G' sera eonfondue avec G, et toutes les droites situées dans le plan mobile, et non parallèles h G, seront devenues tangentes au cylindre. On voit donc que le plan déterminé par la génératrice G et la tangente à la directrice U en A, contient toutes les tangentes du cylindre aux divers points de la génératrice G, et par suite qu'il est tangent tout le long de cette droite.