CHAPITRE II. — REPRÉSENTATION DES CONES ET DES CYLINDRES
Cette démonstration suppose que la directrice U ne présente pas de changement brusque de direction en A, en d'autres termes qu'elle y admet une tangente unique. Dans le cas contraire, le théorème cesse d'être vrai, ou du moins il faut considérer la surface comme composée de deux cylindres qui se coupent suivant la génératrice, et dont chacun a son plan tangent.
H6. La tangente a la trace m (Jig.&o) d'un cylindre sur un plan P, en un point a, est l'intersection du plan tangent le long de la génératrice A a, avec le plat».
L'ensemble des droites qui projettent sur un plan P (Jig. 80) les différents points d'une courbe M, forment un cylindre dont la trace m, sur le plan, est la projection de M.
Le plan projetant d'une tangente T est tangent au cylindre projetant de M, tout le long de la projetante du point de contact A, et par suite sa trace /, projection de T, est tangente h m. Il résulte de là que la projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de la courbe. Nous n'avons pas supposé que les génératrices du cylindre fussent perpendiculaires au plan de projection; la proposition sera donc encore vraie, si les projetantes toujours parallèles entre elles sont inclinées sur ce plan. Nous devrons quelquefois employer ce genre de projection.
Quand la tangente à une courbe est perpendiculaire au plan de projection, elle y est représentée par un point. Si la courbe est plane, sa projection est alors unidroite, et il n'y a pas à rechercher sa tangente.
La projection de la normale d'une courbe n'est pas, en général, normale à la projection de la courbe (art. 46).
117. Un cylindre est dâ'eloppable, c'est-à-dire qu'on peut dérouler une telle surface sur un plan, sans contraction ni distension d'aucune de ses parties, mais par de simples flexions. Si la directrice est une courbe fermée, il faut supposer que le cylindre a été coupé au préalable le long d'une génératrice.
Pour démontrer celte propriété, considérons une surface de prisme, sans base [ftg. 81); on peut concevoir que la face P tourne autour de l'arête B pour se placer dans le plan Q, et que ces deux faces réunies se mettent dans le plan R par une rotation autour de C. En continuant ce mouvement autour des différentes arêtes, on développera la surface.
Cette propriété n'étant dépendante ni du nombre ni de la grandeur, des faces, est encore vraie quand le polygone G, directeur du prisme, devient une courbe; la surface est alors un cylindre.
118. Dans le développement du prisme, les côtés ab, bc,... d'un polygone quelconque G I Jig. 81) tournent autour des droites A, B,... et par suite les angles que chacun d'eux forme avec les arêtes qui passent à ses extrémités, ne sont pas altérés. Cette propriété s'étend naturellement au cylindre ; les angles que la directrice ou toute autre courbe forme avec les génératrices, ne sont pas modifiés lorsque
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l'on déroule la surface, et par suite l'angle formé par deux courbes tracées sur un
eyliudre est égal à celui de leurs transformées par développement.
Les génératrices restent parallèles comme les arêtes du prisme.
La section droite, c'est-à-dire l'intersection du cylindre par un plan perpendiculaire aux génératrices, devient une ligne droite.
Définition, représentation et principales propriétés du cône.
Ilî). Le cone diffère du cylindre en ce que la génératrice reetiligne, au lieu de rester parallèle à elle-même, passe par un point lixe que 1*00 nomme sommet. Un cône est défini par la position du sommet [s, t') {fig. 82), et par une directrice A que nous prendrons généralement sur le plan horizontal.
Quand la génératrice est une droite indéfinie, ses deux parties en deçà et au delà du sommet décrivent «les nappes distinctes qui se réunissent à ce point.
120. Si l'on cherche la projection verticale d'un point situé sur le cône, et dont la projection horizontale m est connue, en opérant comme il est expliqué à l'article 1 1 1 pour le cylindre, on trouvera sur le plan vertical deux points m' et m", et on reconnaîtra que, sur le plan horizontal, toutes les projections des points de la surface sont comprises entre les droites P et Q menées du point s tangenliellement à la trace A. Ces lignes forment le contour apparent du cone sur le plan horizontal.
Lorsque du point s on ne pourra pas mener une tangente à la trace A, il n'y aura pas de contour apparent sur le plan horizontal, cl tout point de ce plan sera la projection d'un point de la surface.
A un point m', projection verticale d'un point du cone, correspondent sur le plan horizontal deux points m et m,. Le contour apparent de la surface sur le plan vertical est donne par les droites K cl I' menées du point *' aux points k' et i' où aboutissent les tangentes de A perpendiculaires à la ligne de terre.
121. in plan tangent à un cône en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point.
On démontre ce théorème comme celui qui lui correspond pour le cylindre (art. US), en considérant deux génératrices G et G' [fig. 83 1, et faisant mouvoir la seconde sur la surlace, jusqu'à ce qu'elle se confonde avec la première; alors les sécantes u et U de deux courbes m et M deviennent en même temps tangentes, et déterminent un même plan tangent aux points a et A.
Ou peut étendre au cône sans difficulté les considérations que nous avons présentées pour le cylindre, dans le cas où la directrice est une courbe graphique.
122. Les faces d'une pyramide peuvent être amenées successivement dans un même plan par des rotations autour des arêtes; il en résulte qu'un cône peut élre développé, car c'est une pyramide dont le polygone directeur est une courbe. Les angles que les lignes tracées sur un cone font 'entre elles, et avec les génératrices, ne sont pas altéré* par le développement.
