Par un point donné, mener un plan tangent à un cône
Le cône est donné par son sommet (s, s") {fig. 90} et par sa trace A. Nous le supposons limité à son sommet et au plan horizontal. Nous avons indiqué le contour apparent sur le plan vertical; il n'y en a pas sur le plan horizontal. Le point donné est (m, m'). .
Le plan cherché devant contenir une génératrice, passera par le sommet, et par suite la droite {sm, s" m') y sera tout entière. La trace horizontale du plan passe donc par la trace horizontale b de cette droite; elle doit d'ailleurs être tangente à la trace A du cône : il y a autant de solutions que l'on peut tracer de droites satisfaisant à ces conditions. Nous en trouvons deux, T et T,. Les génératrices de contact sont(*r,*V) et •>,.✓/,).
La trace verticale de chacun des denx plans passe par la trace verticale r de la droite {sm, s' m').
Si la construction avait placé le point b sur la trace A, le point donné (m, m') appartiendrait à la surface du cône, et nous aurions un* seul plan tangent.
151. Mener à un cône un plan tangent parallèle à une droite donnée.
Soit (D, D') la droite (fig-çp)- Le plan cherché, devant passer par le sommet du cône, contiendra la droite {sb, s'b') menée par ce point parallèlement à (D, D ). La question se trouve ainsi ramenée au problème que nous venons de traiter.
152. Les problèmes que nous avons résolus dans les articles précédents, peuvent être considérés comme des questions d'ombre pour des cylindres d'une longueur indéfinie.
Si un cylindre est éclairé par des rayons qui divergent d'un point [m, m'j {fig. 88;. les lignes d'ombre seront les génératrices de contact des plans tangents (T, T';, (T ( . T',) ; car les rayons dirigés de (m, m') aux différents points de ces génératrices seront tangents comme contenus dans des plans tangents.
Les traces des plans tangents sont les limites des ombres portées sur les plans de projection; ainsi l'ombre sur le plan horizontal est urir,u,.
Si la figure 88 avait été établie en vue d'un problème d'ombre, les parties 6ret br, des traces auraient du être pointillées.
La figure 8() montre pour un cylindre éclairé par des rayons parallèles à une direction i D, D':, les génératrices limites de l'ombre propre, et les traces des plans tangents limites de l'ombre portée sur les plans de projection. Considérées comme lignes d'ombre sur le plan horizontal, les droites T et T, ne devraient pas être prolongées à droite des points r et r, .
La figure <jo présente également les constructions nécessaires pour déterminer les ombres d'un cone.
I. *».■>. Mènera un cylindre un plan langent qui fasse avec le plan horizontal un angle donné.
Prenons un point [s, s' i ifig. 8C ;, et considérons-lc comme le sommet d'un cone de révolution dont les génératrices rencontrent le plan horizontal sous l'angle donné. Nous pouvons tracer l'une des deux génératrices parallèles au plan vertical, puis le cercle trace du cone.
Le plan cherché fait avec le plan horizontal le même angle que les plans tangents au cone; d'ailleurs il contient une génératrice dv cylindre, il est donc • , parallèle au plan mené tangentiellement au cone par la droite isb, s'b' ; parallèle
aux génératrices du cylindre: sa trace est ainsi parallèle à t ou à «; c'est T, T,, U nu U,.
Nous trouvons ainsi quatre solutions, mais il n'y en aurait que deux si. par la nature du problème, le dièdre égal a l'angle donné devait être du coté du cylindre; les traces T, et U, seraient alors à rejeter, parce que les plans qu'elles déterminent, bien que parallèles aux deux autres, devraient être considérés comme formant avec le plan horizontal des angles supplémentaires de l'angle donné.
On obtient la trace verticale de chaque plan en cherchant la trace verticale de la génératrice de contact , ou* d'une droite parallèle à. cette ligne menée par un point quelconque de la trace horizontale. Nous avons cru inutile de reproduire ces constructions.
i."îi. Mener à un cône un plan tangent qui fasse un angle donné avec le plan horizontal.
On construira la trace horizontale d'un cone de révolution qui aura son sommet au sommet du cone donné, cl dont les génératrices feront l'angle donné avec le plan horizontal. Les plans cherchés auront pour traces sur ce plan les tangentes communes aux traces du cone donné et du cone de révolution.
Si l'angle donné est aigu, et si le dièdre qui lui est égal doit être du coté du cône, on ne devra admettre que les tangentes qui laisseront les traces d'un même cùté.
Il y a des cas d'impossibilité dans ce problème et dans le précédent.
