CHAPITRE m. - PLANS TAHGENTS AU CYLINDRE ET AL" CONE
Solution, par la théorie des plans tangents au cône de révolution, de divers problèmes
relatifs à la ligne droite et au plan.
I."»."». On emploie un cône do révolution dans toutes les questions où un plan doit l'aire avec un plan donné un angle donné.
Construire un plan qui passe par une droite donnée, et fasse un angle donné avec le plan horizontal.
Soit (be, b'c 1 ) la droite donnée < fig. ç>a). I n point (s, s' de eette ligne est pris pour le sommet d'un cone de révolution dont les génératrices font avec le plan horizontal l'angle donné. Il n'y a qu'à mener à ce cône un plan tangent qui contienne la droite: nous en trouvons deux P, P'j et Q, Q';. Si le sens de l'inclinaison était indiqué par la nature du problème, il pourrait y avoir lieu de rejeter une des deux solutions.
La trace P ne rencontrant pas la ligne de terre, pour déterminer P' nous avons cherché la trace verticale d'une droite passant par deux points m, ni et n, n ' ,, situés l'un sur la droite donnée, l'autre sur la trace du plan.
I5fi. Constmire un plan qui contienne une droite donnée, et fasse un angle donné mec un plan donné.
On ramène cette question à la précédente, en changeant les plans de projection art. «01.
Soient (P, P'i le plan et (eh, e'h' ) la droite ifîg.gi). Nous prenons un plan auxiliaire [eg, g g ) perpendiculaire au plan horizontal et au plan donné, et nous le rabattons en le faisant tourner autour de la droite cg qui devient une nouvelle ligne de terre; la trace du plan : P, P' sur ce nouveau plan vertical est P*.
La droite donnée coupe le plan auxiliaire au point >, s 1 dont la nouvelle projection verticale est s". Nous prenons ce point pour sommet d'un cone de révolution dont les génératrices font l'angle donné avec le plan P, P ,. En traçant les droites *"0" ef j"R , -l'une perpendiculaire à P", l'autre ayant sur cette ligne l'inclinaison voulue, iWs avons l'axe du c<\ne, et l'une des deux génératrices situées dans le plan auxiliaire? Nous rabattons le plan (P, P") sur le plan horizontal, et nous décrivons le cercle OR trace du cone.
La droite donnée ; eh, e h ) perce le plan 'P, P", au point [h, b") qui se place en B. Les tangentes R/et RX sont les traces des plans cherchés sur le plan fP, P*] rabattu: elles Rencontrent le rabattement P, de la trace verticale P' aux points m, etn, que nous relevons sur P' en m etn. Comme d'ailleurs les plans doivent contenir la droite 1 eh, e'h'), on voit que leurs traces sur les plans coordonnés primitifs sont ici et inh' pour l'un, ej et jmh' pour l'autre.
137. L onnaissarU une fdte fi d'un angle triédre, l'angle dièdre opposé B et l'un des deux autres C. trouver les faces inconnues a et y, et le troisième angle dièdre A.
Par un point S (Jig. 61 ] nous traçons sur le plan de la ligure supposé horizontal L 7
deux droites Se et Sa comprenant «Mitre elles l'angle /5; nous prenons un plan vertical EN perpendiculaire à l'arête Se, et nous plaçons sous l'inclinaison donnée C la trace verticale ER de la lace opposée à S«. Pour former l'angle trièdre, il faut mener par la droite Sa un plan formant avec le plan < SE, ER) l'angle donné B; c'est un problème que nous savons résoudre art. 136, et que la position particulière des données rend très-facile.
Nous traçons les droites NI* et NR. l'une perpendiculaire à ER, l'autre formant avec cette ligne l'angle B: ce sont l'axe et une génératrice d'un cône de révolution auquel la troisième face doit être tangente. Si nous rabattons le plan ( SE, ER , sur le plan horizontal, nous pourrons décrire le cercle base du cône, et placer la troisième arête SI, qui doit le toucher: cette construction nous fait connaître l'angle ASc du plan de la seconde face.
La tangente SJ doit être rejetée ; elle correspond en effet à une face qui serait en deçà de l'axe du cone par rapport à l'arête Se, et qui, par conséquent, ferait en regard de la face ,5 non pas l'angle B, mais son supplément.
Si, les angles j9 et G restant les mêmes, l'angle B était remplacé par son supplément, la construction ne serait pas modifiée; elle convient donc à deux angles trièdres différents. Suivant qu'une tangente SA à la base du cone laissera les points p et E d'un même côté, ou passera entre eux. elle correspondra à l'angle trièdre dans lequel l'angle B est aigu, ou à celui dans lequel il est obtus.
Sur bis cet angle est aigu, et chacune des tangentes SI et SJ laisse les
points p et E d'un même coté; elles doivent donc être admises toutes les deux, mais la dernière se trouvant abaissée au-dessous du plan horizontal quand le plan (SE, ER ; est relevé, c'est son prolongement SA' qui forme la troisième arête. Nous trouvons ainsi pour l'angle plan de la seconde face deux valeurs ASE, A'SE.
Si, les angles [i et C conservant les grandeurs qu'ils ont sur XzfigureSi bis. l'angle B était remplacé par son supplément, les deux tangentes devraient -être rejetées, et l'angle trièdre serait impossible.
138. Supposons que l'on rabatte la troisième face en la fais'ajit tourner autour de Sa, le point de contact I f Jig. 6i ) se placera sur l'arc de ccrcl? décrit du point S comme centre avec SI pour rayon. Comme d'ailleurs nous savons que sa distance au sommet N du cône est la longueur NR d'une génératrice, nous pouvons déterminer sa position 1, par recoupement.
Dans l'espace, la troisième arête est tangente à la base du cône, et par suife perpendiculaire ■ la génératrice du point de contact 1. D'après cela le rabattement sb, doit étro tangent en I, au cercle dont le centre est en N ; on peut donc se dispenser de tracer l'arc IJI,.
Si le cercle décrit du point p comme centre passait par le point S, les points I, J et I, se réuniraient à S, et l'angle NSA, serait droit.
Sur Yijigurtdx bis, en menant du point S des tangentes au cercle dont le rayon
CHAPITRE III. — PLANS TANCKNTS AU OYI.INDKK KT AI." CONE. 5l est NR, nous trouvons que la troisième face est asl>, dans la première solution, et aSfV, dans la seconde. Ces angles sont supplémentaires.
159. figure faite en ordre inverse, donne une solution «lu problème de l'angle trièdre dans le troisième cas déjà examiné à l'article 77.
Les données sont les anglescSa, «S6, et NER. Les diverses droites qui les forment sur la ligure étant placées, on abaisse les perpendiculaires NI, et NI». Un cône de révolution dont l'axe serait NP, et dont la droite NB égale à NI, serait une génératrice, toucherait la face aSb, relevée, et la troisième arête du trièdre serait tangente au cercle de sa base situé dans le plan i SE, EH). Si donc nous rabattons ce plan par une rotation autour de SE, nous pourrons tracer un cercle que la troisième arête devra toucher.
Les tangentes SI et SJ doivent èlre admises toutes les deux, parce qu'elles sé trouvent, après le relèvement, sur la partie du plan qui forme avec le plan horizontal l'angle donné C. Nous trouvons ainsi deux valeurs ESI, KSJ pour le troisième angle plan.
M y a deux cas d'impossibilité : celui où les tangentes sont toutes les deux sur la partie inférieure du plan de la troisième face, et celui où le cercle décrit du point N comme centre avec NI, pour rayon ne rencontre pas la droite ER.
140. Déterminer les faces a, $ et y d'un ang/r tnedre dont on connaît les angles dièdres A, B et C.
Sur le plan de la ligure, que nous supposons horizontal, nous traçons deux droites EN et Mm' comprenant un angle égal àC Jig. C»a ,, et nous les considérons comme les traces de deux plans verticaux, qui seront ceux des faces ,5 et a, respectivement opposées aux dièdres B et A. Nous pouvons de plus supposer que le sommet de l'angle trièdre se trouve au point E.
Le plan de la face y opposée à l'angle ('. passe par le sommet E, et fait avec les plans verticaux EN et Mm des angles connus A et B. Nous pouvons par conséquent déterminer deux cônes de révolution qui doivent être louches par ce plan: ils ont l'un et l'autre leur sommet en E.
Le premier c<hV a pour axe la droite Er, perpendiculaire à EN et par suite au plan de la face B. La ligne Eu, qui fait avec le prolongement «le NE un angle égal à A, est une des deux génératrices contenues dans le plan horizontal. De même, si nous traçons les droites EL et Et , faisant respectivement avec Mm' un angle droit et un angle égal à B, nous aurons l'axe et une génératrice du second CODA.
D'un point P de l'axe du premier cone, abaissons une perpendiculaire Px sur la génératrice Eu : la sphère qui aurait son centre en P et P.r pour rayon, toucherait le cone tout le long du cercle qui serait décrit par h- point .r, si on lui imprimait un mouvement de rotation autour de Ec; et nous pouvons remplacer la condition d'être tangent au cone. à laquelle le plau de la face -/ est soumis, par celle de toucher cette sphère. Nous pouvons également, au lieu du second cone, considérer une sphère ayant son centre en un point Q de l'axe EL, et pour rayon la
5» LIVRE II. — CYL1SDHES, CONES ET SUIIFACES DE RÉVOLUTION.
perpendiculaire' Qy, abaissée de ce point sur la génératrice Ec. Nous déterminons sur EL la position du point Q de manière que Qy soit égal à P.r.
Le plan cherché touchant deux sphères égales doit être parallèle à la ligne des centres. Comme d'ailleurs il passe par le point E, sa trace est la ligne El parallèle
àQPn).
Nous BcheV0D8 de déterminer le plan de la face y, parla condition qu'il touche l'un des deux cônes, par exemple le premier. Jusqu'à présent nous n'avons opéré que sur un seul plan supposé horizontal; nous allons maintenant prendre un plan vertical. Nous choisissons pour ligne de terre une droite 1K perpendiculaire à l'axe EP du cône, afin que la trace verticale de cette surface soit un cercle. Nous n'en avons représenté qu'un quart. La trace verticale du plan de la face 7 est la tangente Ii. Les plans des trois faces sont maintenant déterminés.
Nous prenons un nouveau [dan vertical, celui de la face. /3, dont la trace horizontale est EN ; enfin nous supposons que l'on élève l'angle trièdre de manière que son sommet soit transporté en un point S de l'arête d'intersection des faces a et /S, les trois plans restant d'ailleurs parallèles à eux-mêmes.
Le nouveau plan vertical est parallèle à l'ancien, et doit être considéré comme rabattu dans le même sens. La trace verticale du plan de la face 7 est donc une droite Sa, parallèle à li; sa trace horizontale est la droite N/n', parallèle à El et k QP.
Le point m', intersection des traces horizontales des plans des faces a et appartient à la troisième arète ; il est facile de voir que quand on rabat ces faces sur le plan vertical, le point m' est porté en M d'un côté, et en M, de l'autre. Les troisangles cherchés a, /5 et 7 sont ainsi M SE. ESN et NSM,.
En élevant l'angle trièdre, nous avons évité la confusion qu'eussent produite un grand nombre de lignes divergeant du point E, et nous avons obtenu par une construction facile un point m' de la troisième arête.
141 . Nous avons pris le point P du côté de EN où nous avions placé l'angle ('., et le point Q du côté de E/n' où est le même angle, de manière, que le plan de la l'ace y laissai d'un même côté les deux sphères touchées. Si, conservant le point P, nous avions placé le point Q sur le prolongement de LE au delà de E. les sphères eussent été placées de part et d'autre du plan, et, en conséquence, sa trace eut passe par le milieu de la ligne des centres.
Nous n'avons considéré qu'une tangente à la base du cône; il est facile de voir que le plan tangent déterminé par la seconde tangente ferait un angle égal à A avec
(1) On (Ml a Hachette la considération de» sphères inscrite», qui conduit à une solution facile pour le problème de mener par un point donné un plan t/m fasse avec deux plans donnés des angles donnés.
CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXI. 53
la partie supérieure du plan vertical de la face B, et que, élevé jusqu'au point S, il présenterait l'angle supplémentaire de A en regard de C.
Pour qu'il y ait une solution, il faut que la longueur Kl soil plus grande que le rayon Ku. On reconnaîtra que cela arrive toutes les fois que la somme des trois angles donnés surpasse 180 degrés. Nous ne nous arrêterons pas à cette question facile de géométrie plane.
Si l'un des angles dièdres est droit, en le mettant dans la position C on pourra conserver le tracé, mais il vaut mieux lui donner la position B; le second cône su réduit à son axe EQ, et le problème consiste à mener par cette droite un plan tangent au premier cône.
