SECTIONS PLANES DU CYLINDRE ET DU CONE

Sections planes du cylindre.

I i2. Pour construire l'intersection d'un cylindre par un plau, on prend sur la surface un certain nombre de génératrices convenablement espacées, on détermine séparément les points où elles percent le plan, et on les réunit, sur chaque plan de projection, par un trait continu.

Lorsque l'on a obtenu les projections de la courbe, on peut déterminer sa vraie grandeur en rendant son plan parallèle à l'un des plans coordonnés, et construire sa transformée dans le développement du cylindre.

I" E\r.»FLK. — Cylindre vertical ; plan sécant perpendiculaire au plan vcrt.'ral. [Planche XXI

1 i.">. Nous supposons d'abord le cylindre vertical, et le plau sécant , P, P , fig-tf ) perpendiculaire au plan vertical. Les projections de l'intersection soni, sur le plan horizontal la trace du cylindre, et sur le plan vertical la partie de la trace du plan comprise dans le contour apparent du cylindre. Nous n'avons donc à déterminer que la vraie grandeur de la section, et sa transformée par développement.

Nous rabattons le plan sécant sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de sa trace P. L'n point quelconque | c, c' , tourne autour du point <•', et se place en C sur une perpendiculaire à la trace P', et à une distance de cette ligne égale à cc 0 . H faut opérer sur un nombre de points assez grand pour qu'on puisse tracer la courbe sans incertitude.

On trouve la position que prend une tangente f/r, P'}, en cherchant par le même procédé le point où se place l'un quelconque [r,r J ) de ses points. La construction

est un peu plus simple lorsque l'on choisit un point lel que it, d' sur une ligne dd„ d déjà tracée sur h- rabattement.

On peut également résoudre le problème en faisant tourner le plan autour de l'une quelconque de ses horizontales jusqu'à le rendre parallèle au plan horizontal, et déterminant la nouvelle projection de la courbe.

lit. Dans le développement du cylindre, la traie étant une section droite, a pour transformée une ligne droite à laquelle les génératrices sont perpendiculaires art. 118 .

Nous supposons le cylindre coupé suivant la génératrice qui a sa trace en a, et nous portons sur une droite XY fig. 91 ; des longueurs égales aux divisions successives de la section droite à partir de a; nous élevons ensuite des perpendiculaires auxquelles nous donnons les longueurs des génératrices mesurées sur le plan vertical oit elles sont projetées en vraie grandeur.

L'angle formé par une tangente de la courbe et la génératrice du point de contact est le même dans l'espace et en développement art. 1 18 1. D'après cela il est facile .le construire la tangente de la transformée, en un point quelconque F fig. 9 1 .

Considérons le triangle formé par la génératrice du point (/,/'; \ fig.yî , la tangente de la courbe en ce point, et sa projection// sur le plan horizontal du point d. d' ; nous pouvons le reproduire sur le développement, il suffit de prendre la longueur ç/ l fig. 0/, i égale à// fig-tf ; l'hypoténuse F/ est la tangente. On pourrait limiter cette droite à tout autre plan horizontal, par exemple à celui du point r. ? ; la longueur fr Ji^-\\^ serait alors portée en f,r (fig.ytï).

1 ili. Tous les points de la courbe se projetant verticalement sur la droite limitée a' g', on voit que les points (a, «' et [g, g") sont, l'un le moins élevé, et l'autre celui qui l'est le plus. Les tangentes aux points A, G et A, de la transformée [fig. 9'» sont donc horizontales.

On arriverait au même résultat, en remarquant que les tangentes à la trace du cylindre en a et en g sont parallèles à P, et par suite à toutes les horizontales du plan sécant. Les tangentes aux points correspondants de la courbe sont donc horizontales, et restent tel 1rs dans le développement.

Les tangentes de la courbe aux points </.</';. d, d ) sont des lignes de plus grande pente du plan sécant, parce que leurs projections horizontales sont perpendiculaires à I': elles ont donc sur le développement une inclinaison plus grande que les autres tangentes, et de là résultent des indexions aux points D et D, de la transformée art. 87).

On verrait l'inflexion se produire sur le plan vertical fig.tJS , si l'on y projetait un développement fait sur le plan tangent le long de la verticale du pointé Les points e, «■' et c, r s'éloi:. lieraient l'un à droite, l'autre à gauche en restant à la même hauteur, cl par suite ils se trouveraient de cotés différents de la trace F qui >erait toujours la projection de la laugente.