CHAPITRE IV. - SECTIONS PLANES DES CYLiMRES ET DES CONES. - PL. XM

146. Si Ton compare l'une à l'autre la trace du cylindre et la courbe de section rabattue, on verra que les points homologues de ces lignes se trouvent à des distances égales des droites ag et AG, et que leurs abscisses i i ), mesurées sur ces lignes à partir des points a et A, sont dans un rapport constant, celui de ag à a' g 1 . D'après cela, quand la trace du cylindre est un cercle, la section est une ellipse, comme nous savons que cela doit être. Le centre de cette courbe, avant son rabattement, est un point (o, d'\ où le plan coupe l'axe «lu cylindre. Le petit axe est dans un plan passant par le centre et perpendiculaire aux génératrices.

147. La projection à g' ( fig-ofi) étant une ligne droite, il y a proportionnalité e.nlre les ordonnées et les abscisses «le ses différents points ; mais les ordonnées sont les mêmes que celles de la transformée {Jig. 9'j ), et les abscisses mesurées sur XY ii partir de d 0 sont les sinus des arcs formés par les abscisses de la transformée enroulées sur la section droite que nous supposons un cercle. Nous voyons donc quelle est la' loi qui relie les coordonnées de la transformée par développement. Cette courbe, que l'on appelle sinusoïde, est géométriquement indéfinie, comme si la surface d'un cylindre était indéfiniment déroulée; mais dans les applications, la partie utile ne peut pas avoir une longueur plus grande que celle qui correspond à une circonférence de la section droite.

H' Exemple. — Cylindre vrrtical ; plan tétant dans une position i/uetconr/He. (Planrlu XXI. )

148. Nous allons maintenant supposer qu'un cylindre vertical est coupé par un plan (P, Fy ( fig. <)5) ayant une position quelconque par rapport aux plans coordonnés.

Il faut d'abord construire la projection verticale de l'intersection. Le problème revient à celui-ci : Déterminer la projection verticale d'une courbe dont on connaît la projection horizontale, et qui est située dans un plan donné.

Par un point c pris arbitrairement sur la trace du cylindre, nous menons une dioite cc t parallèle à P; cette ligne est la projection d'une horizontale du plan dont il est facile de déterminer la projection verticale c\c . Relevant sur cette droite «• en c', nous avons la projection verticale du point de l'intersection qui se projette horizontalement en c.

La ligne ce, rencontre la trace du cylindre en un second point c, qu'on relève également en c, .

Les droites aa % et gg t parallèles à P, et tangentes à la trace, correspondent aux horizontales du plan entre lesquelles la courbe est comprise; elles font trouver le point le moins élevé et celui qui l'est le plus.

(1) La perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite prise pour axe est Yordonnrr du point, et la distance du pied de la perpendiculaire h un point de l'axe pris pour angine en est Vabsciste. \m droite ag étant prise pour a*e (fig. i)3), et te point a pour origine, les longueurs ao et od sont l'abscisse et l'ordonnée du point d. L'abscisse et l'ordonnée sont les coordonnées du point.

56 UVnE II. — CYLINDRES, CONES ET SLIIFACES DE RÉVOLUTION.

Pour déterminer le point ï situé sur l'une des droites qui forment le contour apparent du cylindre, il faut opérer sur le point /'de la trace horizontale, où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre.

Nous avons ponctué la figure dans la supposition que le cylindre était limité au plan de section.

149. La tangente en un point/est la projection verticale de la ligne du plan il 1 , V qui se projette horizontalement sur la droite tfr tangente à la base du cylindre. On l'obtient par la construction expliquée à l'article 2î). On peut d'ailleurs déterminer un quelconque de ses points en opérant comme pour les points de la courbe.

Si l'on cherchait les tangentes aux points /' et j\ on trouverait les génératrices qui forment le contour apparent, et il doit en être ainsi ; car, en ces points, le plan tangent, qui contient la génératrice et la tangente à la courbe, est perpendiculaire au plan vertical, et projette ces deux droites sur sa trace.

Les courbes qui sont sur une surface ont ainsi leur projection tangente au contour apparent. Il n'y a d'exception que quand la tangente de l'espace est perpendiculaire au plan de projection, parce qu'elle se projette tout entière sur un point | art. 1 16), et que la tangente de la projection de la courbe n'est plus la projection de la tangente.

Otte circonstance se présente sur la figure vjS; les tangentes aux points [a, a'; et [g, g') sont perpendiculaires au plan vertical, et la projection a' g' de la courbe n'est pas tangente aux droites qui forment le contour apparent du cylindre. Elle s'y arrête, et est géométriquement prolongée par des parties parasites de la droite P\

l.'iO. Nous allons maintenant rabattre le plan sécant pour avoir la courbe dans sa vraie grandeur: nous arriverons très-simplement au résultat par deux rotations.

Nous faisons tourner le plan sécant d'abord autour de la verticale du point « jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire au plan vertical, puis autour de sa nouvelle trace sur ce plan. I.e point 1 vient en I,, et la trace verticale du plan se trouve être l,o'. Le second mouvement amène le point (o, o') sur la droite o'T perpendiculaire à l',o', et sa distance à cette ligne devrait être oo 0 : mais pour dégager complètement la courbe rabattue des autres lignes de la ligure, nous repoussons le point jusqu'en O, à une distance convenable et d'ailleurs arbitraire. La ligne du plan qui se projetait sur ag est devenue parallèle au plan vertical, et arrive se placer sur la droite AOG, parallèle à l',o'.

Si nous considérons un point quelconque (e, e'), la première rotation amène sa projection verticale en é, la seconde le place en E, à une distance de AG égale a eri.

La tangente est obtenue par les mêmes procédés.

On voit qu'il n'est pas beaucoup plus difficile de rabattre une figure plane quand son plan est oblique aux plans coordonnés, que quand il est perpendiculaire à l'un d'eux.

Le développement du cylindre peut être construit immédiatement : on trouve