CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES

pour transformée de l'intersection la courbe A A, '.fig.$\\, car les figures <>3 et 95 représentent le même tronc de cylindre dans deux positions différentes, par rapport au plan vertical.

151. La trace du cylindre étant un cercle, la section et sa projection sur un plan quelconque sont des ellipses. Les tangentes aux points a' et g' (fig. tp) sont parallèles et horizontales: la droite df? est donc un diamètre, et son diamètre conjugué est la corde horizontale d'(f l qui passe à égales distances des poiuts a' cl g'.

On aurait encore deux diamètres conjugués en traçant la droite et cherchant les points situés sur la verticale du point o'. Enfin, d'une manière plus générale, on peut prendra sur le cercle trace du cylindre deux diamètres à angle droit, et chercher ce qu'ils deviennent sur la projection verticale. Cela résulte de ce que des cordes parallèles dans l'espace sont parallèles en projection, et que leurs milieux se correspondent.

I«»2. Dans les constructions de la Géométrie descriptive, les courbes sont obtenues d'après les conditions du problème, comme projections, intersections ou contours apparents. Quelquefois cependant, quand on a déterminé la nature d'une courbe, on peut employer pour la tracer des procédés qui résultent de ses propriétés spéciales.

L'ellipse est, après le cercle, la courbe que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Nous supposons que l'on connait ses principales propriétés, mais nous croyons devoir rappeler quelques constructions qui sont souvent utiles.

Pour tracer une ellipse dont on a les axes AA' ctBlV {fig-w)< on porte sur une règle et à partir d'un point M, deux longueurs M y et M/> égales, l'une au demi petit axe, et l'autre au demi grand axe, puis on place la règle en diverses positions, de manière que les poiuts q et p soient toujours le premier sur le grand axe, et le second sur le petit ; le point M se trouve nécessairement sur l'ellipse.

Les segments Mp et M q peuvent être placés d'un même côté du point M, ou de côtés opposés. La première disposition est généralement plus commode, parce que la construction occupe moins d'étendue sur la feuille, mais elle présente peu de précision quand la différence des axes est petite.

155. 11 y a plusieurs moyens de trouver les axes d'une ellipse quand on connait deux demi-diamètres conjugués OM et ON ( fig. iooj. Voici celui que nous croyons le plus simple.

De l'extrémité M de l'un des diamètres, on abaisse une perpendiculaire MI sur l'autre, et on prend sur celte ligne des longueurs MC et MC, égales à ON; on trace OC et OC,; on mène par le point M une sécante parallèle à OC, elle coupe OC en un point E à partir duquel on prend les segments E/> et Eq égaux a EO. Les axes sont en direction les droites 0/> et 0^, en grandeur les doubles des segments Mq et M/».

Si l'on trace la sécante parallèlement à la plus petite des deux longueurs OC et OC, (fig. 100 bis i, le point M sera entre les points p et q. On opère d'une manière L 8

58 LlVtlK II. — CVI-INDKKs, ÙONKS fcT SUHFACES DK RÉVOLUTION.

ou de l'autre, suivant celle des deux dispositions représentées sur la Jigurc 99 que

l'on veut employer pour décrire l'ellipse.

134. On peut, du reste, tracer facilement une ellipse par points, quand on connaît deux diamètres conjugués a' g' et d'd t Jig.vfi), Décrivons un cercle sur a' g comme diamètre, élevons la-perpendiculaire, orn, et joignons md\ ; si l'on construit sur une ordonnée quelconque en du cercle, un triangle semblable à omd\, le point e\ elle point e' situés à une distance égale de e. appartiendront à l'ellipse.

On voit d'après cela que nous pourrons toujours regarder une ellipse comme facile à tracer quand nous aurons obtenu deux diamètres conjugués.

lit' Kxkari.t. - Cas général. {Planche XXII.)

I .">.'). Nous allons maintenant construire l'intersection d'un cylindre par un plan dans le cas le plus général. Le cylindre est donné comme à l'ordinaire par sa trace horizontale et la direction de ses, génératrices. Les traces du plan sécant sont les droites Q et Q' [fig. 97).

Nous pourrions déterminer les projections de la courbe en cherchant, d'après les procèdes ordinaires . art. .">0 , l'intersection d'un certain nombre de génératrices avec le plan, mais nous devons disposer les constructions en vue du rabattement qu'il sera nécessaire de faire pour obtenir la courbe dans sa vraie grandeur, et des tracés qu'exigera la détermination de la section droite pour le développement du cylindre.

Nous considérons le plan vertical qui contient une génératrice quelconque, par exemple celle dont les projections sont ei ete'E', et nous le rabattons sur le plan horizontal en supposant qu'il entraîne avec lui la génératrice et sa propre intersection avec le plan Q, Q ' \.

II est facile d'avoir le rabattement ee, de la génératrice, en cherchant le point N oii se place un point In, ri \.

L'horizontale du plan Q, Q 1 située à la même hauteur que //. «' a sa trace verticale en r , et se projette horizontalement sur la droite rm parallèle à Q; le poinl où elle rencontre le plan vertical ei a sa projection en m, et son rabattement en M a la même distance que N de la droite et. La section du plan <,>. O' 1 par le plan vertical que nous considérons est ainsi rabattue sur la droite e.M ; son point de rencontre e, avec la génératrice p.\ appartient à la courbe. Si nous relevons le plan, le point e, ira se projeter sur le plan horizontal en E, et sur le plan vertical en K . à une hauteur au-dessus de la ligne de terre, donnée par la perpendiculaire c,K. Le point li doit d'ailleurs se trouver sur la projection verticale de la génératrice considérée.

Les mêmes constructions devraient être reproduite» pour différentes génératrices, mais il est à remarquer que ces droites faisant les mêmes angles avec leurs projections, se trouveront encore parallèles lorsqu'elles auront été ramenées sur le plan

CHAPITRE IV. - SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXII. 5p

horizontal par le rabattement successif de leurs plans projelants. 11 en sera tir même «les intersections de ces plans avec le plan donné Q, Q' ;. En conséquence, après avoir pris sur la trace du cylindre un certain nombre de points convenablement espacés a, b, c,..., on tracera les projections des génératrices correspondantes, et on

obtiendra ainsi sur la trace Q les points a, fi, y On mènera ensuite par les

points a, b, c,... et a, y,... des «Imites respectivement parallèles à ce, et£<*,: les points de rencontre a,, b,, c seront ramenés en A, B, C,... par des droites perpendiculaires aux projections des génératrices, et de là en A', B'. C.',... sur les projections verticales des mêmes lignes. Les bailleurs de ces derniers points au-dessus de la ligne de terre doivent être égales aux lignes Art,,

lîiti. La tangente en un point D, I)': est l'intersection du plan sécant avec le plan tangent le long de la génératrice {dît, rt"D' :. Si les traces horizontales Q et dp de ces plans se rencontraient dans le cadre de l'épure, nous aurions un point de la tangente; mais cela n'ayant pas lieu, par un point p de la trace dp, nous concevons une droite parallèle aux génératrices du cylindre. Cette ligne est dans le plan tancent, et perce le plan Q, Q' i en un point de la tangente cherchée. Pour trouver ce point nous opérons comme précédemment, c'est-à-dire que nous traçons la ligne/m projection horizontale de la droite, puis les lignes pp, et -r.p, respectivement parallèles à ee, et te it et enfin que nous ramenons le point d'intersection p, de ces deux droites, d'abord en P, puis en P" , ^

157. Occupons-nous maintenant deTa courbe dans sa véritable grandeur. Nous rabattons le plan sécant sur le plan horizontal ; le point qui se projette en m va se placer en un point M, sur la perpendiculaire mM, à Q, et à une distance de £ égale à la longueur e.M qui nous est donnjee sur le premier rabattement. Nous avons ainsi la direction cil, de la droite «E,, et nous pouvons placer le point E, à la distance te,. -

Les intersections du plan sécant avec les autres plans projetants des génératrices sont parallèles à sE, : nous avons les longueurs de ces lignes sur les premiers rabattements, on construira donc la courbe A.B.C,... sans difficulté.

Pour avoir la tangente au point D ( , on transporte le point p en P, par le même procédé.

lî>8. Si nous voulons faire le développement du cy lindre, il faut d'abord déterminer sa section droite. Nous traçons une ligne o,e, perpendiculaire aux projections des génératrices, et nous la considérons comme la trace d'un plan perpendiculaire au cylindre. Si nous supposons que des points a,, /3,, 7,,... on abaisse des perpendiculaires sur les différentes génératrices, en supposant ces lignes entrainées dans les rabattements successifs des plans projetants, nous pourrons les tracer sur le plan horizontal, et nous aurons leurs vraies grandeurs a, a,, /3, Si maintenant le

plan de section droite tourne autour de sa trace, toutes les perpendiculaires que nous considérons se mouvront dans les plans projetants des génératrices corres-

(>n LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE REVOLUTION,

pondantes, et se placeront sur leurs projections. Mais comme la courbe prendrait une position qui jetterait un peu «le confusion sur l'épure, nous avons d'abord transporté la trace v., », en ot,£ 3 , et c'est à partir de cette ligne que nous avons porté les

longueurs a,a„ jS,fc„... ; nous avons ainsi obtenu les points A t , B,

Pour avoir la tangente en D,, nous opérons sur la parallèle au cylindre menée dans le plan tangent par le point p, comme nous venons de le faire sur les génératrices elles-mêmes. La ligne perpendiculaire à/y>, donne le point p 3 qui appartient au plan de section droite. La longueur r,,p 1 est portée de n t en P,.

159. Le développement est maintenant facile. Nous portons sur une droite indéfinie B,H, (fig. 98; les longueurs rectifiées des différents are.» de la courbe AjBjC,... (fig.^l. et parles points de division nous élevons des perpendiculaires. Nous portons sur ces lignes les segments des génératrices pris sur les rabattements des plans projetants; ainsi les longueurs D,</ et !).,</, iJig.yS, doivent être égales à rf.rfet «/,</, (yfe.97).

Nous obtenons les tangentes aux points d et d„ en plaçant sur le développement et dans sa position relative par rapport à la génératrice dd,, la droite que nous avons menée par le point p parallèlement au cylindre. Sa distance à dd, est donnée sur la section droite, c'est la ligne P,D 2 (,/?£. 97 j- Les longueurs P 3 />, et ?,p

{ fig. 98 l doivent être égales à p t p, et p t p [fi g. 97 : .

On peut reconstruire le cy lindre en découpant et en enroulant la feuille sur laquelle

le développement est fait. Il faut que la face du papier qui porte la ligure soit sur la

partie concave; autrement, par suite de l'ordre adopté dans le développement pour

la succession des génératrice*, on aurait un cylindre symétrique de celui qui est

représenté sur la figure en.

IttO. La trace du cy lindre est un cercle : la section et ses deux projections sont. • en conséquence, des ellipses. Les droites CG et AE sont des diamètres conjugués

de la projection horizontale, car la première passe par le milieu de la seconde et est

parallèle aux tangentes de l'ellipse à ses extrémités. D'après cela les lignes C'(J'.

A E' etC.G,, A,E, seront des diamètres conjugués de l'ellipse en projection verticale

et en rabattement. Les lignes CjGj et A,E, sont les axes de la section droite. I(îl . La droite qui va d'un point (B, K'] à son rabattement e, [fig. 97 I est inclinée

à 4 "' degrés sur le plan horizontal, parce qu'elle est la corde d'un quart de cercle.

Toutes les autres lignes analogues qui vont des points (A, A ), (B, B' .... à leurs

rabattements a,, b , ont la même inclinaison, et sont parallèles dans l'espace.

Elles forment ainsi un cy lindre dont la courbe ( ABC VB'C'... ; est la directrice ;

les points a,,b,. c, sont par suite sur une ellipse dont les droites a,e, et g, c, sont

deux diamètres conjugués.

I.a droite p, d, esl tangente à la courbe en d,, car c'est la trace du plan tangent au

cylindre dont nous venons de parler, le long de la génératrice qui aboutit au

point d,.

CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXV. Gl

On peut considérer la courbe a,b,c, et la droite p,d,, comme des projections obliques de la courbe d'intersection et de sa tangente au point 1 1), D').

En raisonnant de la même manière pour les points a„ b t , c,,..., on verrait qu'ils forment également une ellipse dont les lignes a,e a et g 2 c 2 sont deux diamètres conjugués. La ligne /> 2 </j est tangente en d t .

162. Il nous reste encore à déterminer le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe d'intersection, et ceux des courbes transformées qui sont le plus éloignés de la ligne de section droite B,H 3 (fig.çfS). Mais comme la figure 97 est déjà un peu compliquée, nous nous contenterons d'indiquer les tracés. Nous traiterons d'ailleurs la question d'une manière générale, et sans faire aucune supposition sur la forme delà directrice du cylindre.

Si l'on coupe la trace abc... par une droite parallèle à Q. les génératrices qui passent par les points d'intersection rencontreront le plan sécant à une même hauteur; par suite, si nous menons à cette trace des tangentes parallèles à Q, les génératrices des points de tangence contiendront, l'une le point le plus haut, l'autre le point le plus bas de la courbe d'intersection.

Les points c et g sont le plus baset le plus haut de la courbe bah... [fig.ofi). Pour avoir les points analogues sur la ligne b, a, h, il faudrait mener à la courbe d'intersection ifig.O)']) des tangentes parallèles à la droite suivant laquelle son plan coupe le plan de section droite : car une sécante de même direction déterminerait deux points à égale distance de la section droite (1).

Il est plus exact de reporter l'opération sur la trace du cylindre. Pour cela, nous remarquerons que si l'on conçoit par l'intersection du plan (Q, Q'} et du plan de section droite, un troisième plan parallèle aux génératrices du cylindre, il sera parallèle aux plans qui seraient tangents aux points cherchés, et en menant à la trace du cylindre des tangentes parallèles à sa trace, les points de contact seront les extrémités des génératrices qui passent par ces points.

Sections planes du cône.

\" Eifupu. — C&ne Ht révolution à axe vertical; plan sécant perpendiculaire au plan vertical ;

section elliptique. { Planche sTXY. )

16,'. Nous nous proposons de déterminer l'intersection par un plan d'un cène de révolution dont l'axe est vertical. Nous prenons le plan sécant (P, P' ; ' fig. io4 . perpendiculaire au plan vertical; par suite il projette la courbe sur la partie A' G' de sa trace P', comprise entre les deux génératrices qui forment le contour apparent de la surface.

(i) Sur la figure 95, If plan de section droite est le plan horiiontal, et le» point» «' et g qui sont l'un le plu» rfoigné et l'autre le plus rapproché de ce plan, »ont ceux où la tangente est parallèle A lu trace P.

*>2 I.IVI1K II. — CYLINDRES, CONES ET SI'RFACES DE RÉVOLITION.

Pour avoir la projection horizontale, nous divisons la circonférence trace du cône en nu certain nombre de parties égales, placées symétriquement par rapport au diamètre ng parallèle à la ligne de terre. Les projections verticales des génératrices qui passent par les points de division, coupent la trace P' en des points A', B . C',... qu'on ramène en A, h* et H,, C et C sur leurs projections horizontales.

Celte construction ne peut pas être appliquée aux génératrices qui se projettent -ur la verticale S'd'. Pour déterminer sur les projections horizontales S d et Sd, de ces droites les points D et I), qui correspondent à \Y, on peut couper le cone par un' plan horizontal DV, et tracer le cercle de section sur le plan horizontal de projection avec un rayon Se? égal iiD 'I.

Pour la ponctuation des projections, nous avons supposé qu'il s'agissait de représenter un tronc de cone.

KM . La tangente en un point F de la projection de la courbe est l'intersection du plan tangent le long de la génératrice S/ et du plansécant: elle a donc sa trace horizon taie il la rencontre des droites If et P, traces des plans. Comme ce point est éloigné, il faut opérer sur un plan horizontal plus élevé, par exemple sur celui qui est a la hauteur du point 1), La génératrice S/ le rencontre au point /,, et les nouvelles traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites/,/ et Sr/ respectivement parallèles à// et P. La tangente F/ passe au point / où ces lignes se rencontrent.

<>n peut encore d'un point : /, /' pris sur la trace// du plan tangent, mener une droite ht, ï ni parallèle à la génératrice du contact (Sf, S'/' ; ; cette ligne sera dons le plan tangent, et le point (m, ni où elle rencontrera le plan sécant appartiendra à la tangente.

!(>.*». Pour avoir la courbe en vraie grandeur, nous avons rabattu le plan sécant sur le plan vertical ; un point quelconque f F, F' ) s'est placé en F" sur la droite F F* perpendiculaire à F, et à la distance à laquelle la projection horizontale F se trouve de la ligne de terre.

On obtient par le même procédé les tangentes sur le rabattement. Nous avons déterminé pour la tangente en P les points T et M. rabattements des points [t, IV cl m. ni).

KM». La courbe d'intersection et sa projection sont des ellipses. Nous pouvons facilement trouver leurs axes.

On voit, par la construction même, que la projection horizontale de l'intersection est symétrique par rapporta la droite ASC perpendiculaire à P. Cette droite est donc un axe de la courbe. Le centre est au point milieu 0. De même l'ellipse d'intersection a l'un de ses axes sur la ligne AC, A' G'), et son centre en (0, ()'). Le second axe se projette verticalement au point O'; en coupant le cone et le plan sécant par le plan horizontal O m', nous déterminons les points il et Q, delà projection hori-

CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. - PL. XXV. 63

zontale. La ligne iiii, est la projection du second axe, et le second axe de Uprojection.

En général, les projections des axes d'une ellipse sont simplement des diamètres conjugués de la projection; mais si l'un d'eux est parallèle au plan de projection, comme cela arrive ici, les diamètres conjugués comprennent un angle droit l art. Ui et sont par conséquent les axes.

On obtient sans difficultés les droites A"G' et Û'il',, axes de la courbe rabattue.

I(>7. Toutes les génératrices ont la même longueur depuis le sommet jusqu'au plan horizontal. Il en résulte que dans le développement la transformée de la circonférence de la base est un arc de cercle dont les génératrices sont les rayons. Après avoir tracé (Jig. n>jj une partie suffisante de la circonférence dont le rayon est S'a' [fig. io4), nous prenons sur cette ligne des longueurs curvilignes égales aux art s ab, bc,...\ nous traçons les rayons correspondants, et nous portons sur eux les Ion gueurs des génératrices comprises entre le sommet et le plan sécant. Pour déterminer ces longueurs, nous rendons les droites parallèles au plan vertical {art. 16 : leurs projections sur ce plan viennent se confondre avec la ligne S'^, et les points d'intersection se transportent sur des horizontales jusqu'à celte droite. Chaque longueur, telle que S'o v . doit être portée sur les rayons correspondants Sd et Sr/, [Jig. loi), à partir du centre S.

Nous avons supposé que la surface était coupée suivant la génératrice (A a, A a . et pour montrer la continuité de la transformée de la courbe, nous l'avons prolongée de chaque coté sur la partie qui correspond à un des secteurs coniques.

On peut obtenir la grandeur des segments curvilignes ai, bc,... en décomposant une division du cercle de base en petites parties qu'on puisse assimiler à des droites, et les reportant sur l'arc qui a pour rayon la génératrice du cône; mais, comme les erreurs peuvent s'accumuler, il est plus exact de calculer la grandeur en degrés de l'arc, qui représente la circonférence de base, de déterminer avec un rapporteur son amplitude sur le développement, et de la partager ensuite en parties égales. I.»

grandeur angulaire de cet arc est ^|- r 36o". Le rapport de aS a a' S' sera souvent

donné par la question même; dans tous les cas, on pourra le trouver en mesurant ces lignes.

Il est peu dans l'esprit de la Géométrie descriptive d'employer ainsi le calcul comme auxiliaire, mais il n'y a pas de règle absolue.

168. Les "angles de la courbe avec la génératrice ne sont pas altérés dans le développement (art. 122 j. Nous aurons donc la tangente au point F ijig. io5j, en appuyant sur la génératrice les constructions qui, dans le plan tangent, feraient trouver la tangente à l'ellipse. On peut supposer que la surface, en se déroulant, recueille dans les différents plans tangents les lignes que l'on peut y concevoir, et les entraine avec elle.

64 LIVRE U. — CYLINDRES, COiNES ET SURFACES IJE REVOLUTION.

D'après cela nous plaçons sur la figure to5 les droites /Y i'lf 0 i de la figure 104. dans un»- direction perpendiculaire à Sf; nous traçons tm parallèle à S/, et nous lui donnons la longueur /', m' [fig. \ o\ ), véritable grandeur de (fa, l'm'). L'un ou l'autre des points / ou m sulïU pour le tracé de la tangente.

I6ÎI. Il est utile de déterminer les inflexions de la transformée: nous allons démontrer qu'elles se trouvent aux points où le plan sécant était normal à la surface.

Nous remplaçons d'abord le cône par une pyramide circonscrite que nous supposons coupée par un plan (P, P'j (fig. 107; perpendiculaire à l'une de ses faces [GE, G'S'E'/. Cette face est parallèle au plan vertical de projection; elle touche le cône le long de la droite ( S, S'I).

La section est projetée verticalement sur la trace F du plan, et nous aurons sa transformée par développement en amenant par des rotations les diverses faces triangulaires dans le plan GSK parallèle au plan vertical.

Dans le mouvement de rotation de la face F'S'G' autour de S'G', le point A' décrit un arc de cercle dont le centre est au pied a de la perpendiculaire abaissée du point A' sur S'G', et vient se placer en un point A', , à une distance de a égale à la vraie grandeur de cette perpendiculaire. Le point D' va de même en D', , sur la perpendiculaire d\Y à S'E'. La partie de la section projetée verticalement sur A'B'C'IV est donc en développement A', B'C'D, .

Le point A', est dans celui des deux angles A'B'S' et A'B'G' qui est obtus: il eu est de même du point D', par rapport aux angles D'C'E', D'C'S'. Il est d'ailleurs facile de voir que quand les points B' et G' seront placés d'un même côté du pied 0 de la perpendiculaire abaissée du sommet S' sur P', les angles obtus, et par suite les points A, et D, so trouveront de côtés différents de la droite P\ Or, à moins que la perpendiculaire SO ne se confonde avec la génératrice S'I du cône, les droites S'G' et S E' pourront toujours être assez rapprochées de cette dernière ligne pour que la condition que nous venons d'indiquer soit satisfaite. Nous voyons donc que lorsqu'on multiplie les faces de la pyramide pour revenir au cône, les sommets A', et D, qui pouvaient d'abord se trouver d'un même côté de B'C prolongé, arrivent nécessairement à se placer de côtés différent».

Quand le plan sécant est perpendiculaire a la génératrice S I i fig- 108), les points A', et D', sont du côté de P' où se trouve le sommet S', quelle que soit la grandeur de l'angle G'S'E'.

En résumé, dans le développement d'un cône, la transformée d'une section plane traverse sa tangente là où le plan était normal à la surface, à moins toutefois qu'il ne fût perpendiculaire à la génératrice (ij.

( 1 ) On peut démontrer ces propositions d'une manière directe et très-simple, si l'on admet, ce qui «•st à peu prés évident, que la ligne la plus courte que l'ou puisse tracer sur une surface entre deux points a tous ses plans o&culateurs normaux à la surface ; car une telle lifeue tracée sur un cône a pour

CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXV. 65

Ces résultats s'étendent naturellement au cylindre qui est une variété du cône: ainsi il est facile de voir qu'au point où nous avons reconnu que la section plane d'un cylindre prenait une inflexion dans le développement ( art. 1 f «» ; , le plan sécant est normal à la surface.

Nous n'avons indiqué sur les projections horizontales des figures 107 et 108 ni les arêtes, ni la section de la pyramide, parce que ces lignes ne sont pas nécessaires à la démonstration, et qu'elles auraient pu jeter un peu de confusion.

170. Revenons à la figure 104. Du point D'où le plan coupe l'axe, nous abaissons une perpendiculaire D'*' sur S" g ; cette droite en tournant autour de l'axe engendre un cône de révolution qui rencontre orthngonalement le cône donné suivant le parallèle l'k'. Le plam P, P" ) contient les deux génératrices (SI, DT) (SI,, DT) du cône auxiliaire, il est donc normal au premier cône en deux points (I. 1') et (I,, I'), qui, rapportés sur la figure io5, sont les points d'inflexion de la transformée. On construit les tangentes lr, I,t, comme toutes les autres.

171. Il n'y aura d'inflexion que quand le plan sécant coupera le cône auxiliaire; d'après cela, si l'on appelle e et >j les angles aigus que l'axe fait avec les génératrices et le plan de section, ou aura

£-(-»}< 90 0 deux inflexions, c ■+- r, > 90 0 pas d'inflexion.

Les transformées de la section elliptique, et de la base circulaire ( fi g. 104 et io5 : donnent des exemples de ces deux cas.

Quand les angles é et »} sont complémentaires, le plan sécant est normal en un seul point, et perpendiculaire à la génératrice de ce point, par suite la transformée ne traverse pas sa tangente fart. 169), mais elle a un contact plus intime avec elle, car cette circonstance se produit quand deux points d'inflexion se réunissent.

Ces diven cas peuvent indifféremment se présenter pour les transformées de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole; toutefois il faut remarquer que si l'angle £ est plus grand que 45 degrés, aucune des ellipses et des paraboles que l'on peut concevoir tracées sur le cône ne prendra d'inflexion dans le développement, et que si e est plus petit que 45 degrés, toutes les transformées des paraboles et des hyperboles auront deux inflexions.

transformée une droite, d'où il résulte que la circonstance d'avoir un plan osculateur normal, suffit pour que le rayon de courbure de la transformée au point correspondant soit infini.

Pour que la transformée d'une courbe plane tracée sur un cône ait un contact du troisième ordre avec sa tangente, il faut que son plan soit perpendiculaire à deux plans tangents consécutifs, ei par suite à leur intersection qui est là génératrice de la surface.

Quand nous prierons des surfaces développables, nous montrerons que les courbures d'une ligne tracée sur une telle surface, et de sa transformée |>ar développement, sont liées par une loi trés-simple dont la proposition que nous avons démontrée n'est qu'un corollaire.

Il* Exemple. — C6ne de révolution à axe vertical; plan sécant perpendiculaire au plan vertical;

section hyperbolique. {Planche XXf'I.)

172. Un plan (mm', m'/x ) {fig. 106) passant par le sommet et parallèle au plan sécant (P, P}, divise les génératrices en deux groupes. Celles du premier groupe ont leur trace sur l'arc NaN,, et rencontrent le plan au-dessous du sommet; celles dusecond ont leur trace sur l'arcNAN,. et rencontrent le plan au-dessus du sommet. L'intersection est ainsi formée de deux parties, et pour ne pas négliger l'une d'elles, nous considérons les deux nappes du cône, que d'ailleurs nous limitons à des plans horizontaux et parallèles.

On peut construire la courbe en cherchant les points où un certain nombre de génératrices percent le plan, mais comme les recoupements seraient assez obliques, il est préférable de déterminer les intersections du cône et du plan par divers plans horizontaux. Nous ne reviendrons pas sur ce tracé, que nous avons déjà expliqué à l'article 165.

173. La génératrice (Sot, S'/n' ) est parallèle au plan, et les génératrices des deux groupes qui sont voisines de celle-là ne le rencontrent que très-loin. La courbe présente ainsi deux bras qui s'étendent en sens contraire, l'un sur la nappe supérieure, l'autre sur la nappe inférieure, et se rejoignent à l'infini, au point où la génératrice (S m, S' m' ) atteint le plan.

On détermine l'asymptote, comme toute autre tangente, en prenant l'intersection «lu plan sécant avec le plan qui touche le cone au point correspondant de la courbe, qui est le point situé à l'infini. Ce plan est tangent tout le long de la génératrice (Sm, S* tut); sa trace horizontale est la ligne me, et le point c, où elle rencontre la trace P du plan, appartient à l'asymptote.

L'asymptote est parallèle à la génératrice (Sm, S'm') parce que ces lignes se rejoignent en un point situé à l'infini. On peut encore dire que le plan ( P, P ) étant parallèle à (Sot, S'm') ne peut couper un plan qui contient cette génératrice que suivant une ligne qui lui soit parallèle.

Les constructions pour déterminer l'asymptote peuvent se rapporter au plan horizontal supérieur. La génératrice otS perce ce plan en p.; les traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites jxs et a, : leur point de rencontre t appartient à l'asymptote.

La génératrice (S m,, S' m' ) également parallèle au plan sécant détermine une seconde hranche infinie, dont l'asymptote e, e, est obtenue de la même manière.

17t. La courbe est, comme l'on sait, une hyperbole. Son axe transversc est 11 droite faSi, P') parallèle au plan vertical. On détermine,sans difficulté les sommets (A, A')et(B. B'), et le centre (0, O j.

On construit le rabattement par les procédés déjà expliqués pour l'ellipse (art. 165).

CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXVI. 67

17o. C'est aussi par les mêmes principes que l'on construit le développement. Les différents cercles ont pour transformées des arcs de cercle concentriques dont les rayons sont les segments des génératrices; on les trouve en vraie grandeur sur la droite a! a'. Nous traçons tout d'abord des longueurs suffisantes de ces arcs, et nous plaçons la génératrice Sb Jig. 109).

Nous supposons la surface coupée suivant la génératrice (aoc, a'a'), et nous portons à partir du point b (Jig. 109), sur le cercle décrit du point S comme centre avec S'a' pour rayon, des longueurs curvilignes égales à la demi-circonférence ba [Jig. 106). Traçant ensuite les droites aSa et a,Sa, [fig, 109), nous avons les deux positions que prend la génératrice [aa, a'a!), et qui limitent le développement de la surface.

Pour voir où un point ( G, G' ) doit être placé, nous portons sur le cercle décrit avec la longueur S'g 1 pour rayon, et à partir du point g de la droite Sa [Jig. 109), une longueur curviligne gG égale à l'arc désigné par les mêmes lettres sur la figure 106. » '

176. Nous donnons aux génératrices rrifi, m, fi, les positions qui leur conviennent. Dans le développement, les asymptotes restent parallèles à ces lignes, et à la même distance d'elles: ce sont les droites et et e,t,.

Vu la symétrie de la figure, les asymptotes de la transformée se coupent sur l'axe bB du développement, mais leur point de rencontre û n'a rien de commun avec le centre (0, 0 ) de l'hyperbole ( Jig. 106}.

Quand la' surface se déroule, à chaque instant la partie déjà développée se trouve dans un plan tangent et y recueille les tangentes qui s'y trouvent. Les tangentes placées dans les plans tangents différents changent ainsi de position les unes par rapport aux autres; il en est de même des asymptotes.

Si l'on prend sur les asymptotes de la transformée les longueurs eO, e, 0, égales à e"0" et «•"O" [Jig. iof>), on aura les points 0 et 0,, qui avant le développement étaient réunis au centre de l'hyperbole.

Les transformées des deux arcs de la courbe peuvent être tracées sans difficulté. Les nappes sont développées suivant les poygones mixtilignes 6N,A,SAN6 et Bn.a.SaflB. La nappe supérieure recouvre en développement une partie de la nappe inférieure : cela arrive quand la longueur développée du cercle de base est plus grande que la moitié de la circonférence dont le rayon est S'// (Jig. io6;. c'est-à-dire quand db' surpasse S'A'. Lorsque le triangle o'S'6' est équilatéral, les deux nappes se rejoignent en développement, sans se recouvrir.

La construction de l'article 168 fait trouver deux points d'inflexion I.et f,. Les inflexions sont peu sensibles, cependant on voit qu'elles existent, parce que la courbe à son sommet B tourne sa concavité vers le point fl où les asymptotes se croisent.

177. Si l'on suppose que le plan sécant tourne autour de sa trace P, et prenne sur le plan horizontal la même inclinaison que les génératrices, il sera parallèle à

( aa, a' a') (fig. 106), et au plan qui touche le cône le long de cette droite. La courbe présentera une branche infinie, mais son asymptote intersection de deux plans parallèles sera à l'infini. On sait que c'est une parabole.

Cat général.

1 78. Les deux cas que nous venons de traiter, donnent entièrement la solution du problème de la section d'un cône par un plan pour ce qui concerne les projections et la vraie grandeur de la courbe d'intersection.

On fait d'abord passer par le sommet du cône un plan parallèle au plan sécant; les génératrices qu'il peut contenir déterminent des branches infinies, et les intersections des plans tangents correspondants avec le plan donné sont les asymptotes.

Quand un cône n'est pas de révolution, pour faire le développement il faut partager le périmètre de la base en petites parties que l'on puisse considérer comme droites, puis déterminer les vraies grandeurs des génératrices qui aboutissent aux points de division. On a alors les longueurs des trois côtés d'une série de triangles qu'on peut construire sur un plan, à la suite les uns des autres.

Cette méthode présente peu d'exactitude pratique, eu égard au grand nombre de petites longueurs qu'il faut employer. Nous devons cependant faire observer que les recoupements ont généralement lieu sous des angles assez ouverts.

Observations sur les sections planes des cônes, la disposition des bras de leurs branches infinies, et les plans tangents à ces surfaces.

179. Us sections des cônes par des plans parallèles sont des courbes semblables et semblablement placées.

Pour prouver ce théorème, nous allons comparer la trace horizontale A d'un cône fig. loi) avec la section de celte surface par un plan horizontal xy. La génératrice qui passe par le point ' M, M' ) de la trace A, rencontre le plan ry en un point Im, m ), et l'on a

SM S' M' SJt Sm ~ S'/w"'~ S'A'

Le rapport de deux rayons vecteurs situés sur une même droite est donc constant, et par suite le point S est un centre commun de similitude pour les courbes A et a. La similitude est inverse; il est facile de voir qu'elle serait directe, c'est-à-dire que les rayons vecteurs proportionnels seraient dirigés dans le même sens, si les deux plans XY et ay étaient d'un même côté du sommet.

Si nous supposons la courbe a non plus sur le plan horizontal de projection, mais remise dans le plan xy, les deux sections seront encore semblables et semblablement placées, mais le centre commun de similitude sera le sommet (S, S' j du cône.

Les droites SG et SG,, qui sont tangentes à A et passent par le point S, ont leur