CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. 6y

prolongement tangent à a. Ce sont les projections des génératrices qui forment le contour apparent de la surface fart. 120;. Les pointsG, G,, gel g, sont leurs traces sur les plans de section.

Nous supposons le cône terminé à deux plans BV et 6V perpendiculaires au plan vertical; alors les courbes A eta ont été limitéesl'unc aux pointsBctB,, l'autre aux points b et //,. Ces points sont homologues dans les deux courbes. La similitude n'est complète que quand les sections sont considérées dans toute leur étendue géométrique, ou bien lorsqu'elles sont ainsi limitées à des points homologues.

Le cylindre n'étant qu'une variété du cône, on peut lui appliquer les résultats que nous venons d'obtenir, et on trouve que les sections faites dans cette surface par des plans parallèles sont identiques et semblablcment placées. Si l'on veut une démonstration directe, il est facile d'approprier la démonstration au cas du cylindre, mais il est encore plus simple de remarquer qu'en faisant mouvoir un des plans sécants de manière que ses divers points décrivent les droites parallèles aux génératrices, la section glissera sur la surface, et viendra se placer exactement sur la seconde courbe.

180. Si nous considérons l'ensemble des sections qu'on peut concevoir t'ailcs dans un cône par des plans parallèles, celle du plan qui contient le sommet se réduira à un point, ou sera composée de lignes droites. Dans tous les cas, elle ne sera pas semblable aux autres (1), et présentera un changement brusque de forme.

Cette circonstance se présente très-rarement pour les surfaces, et quand elle arrive, la démonstration que nous avons donnée pour le théorème du plan tangeut fart. 108) ne subsiste plus. Nous avons supposé, en effet, que la génératrice a \Jig. 77 ) n'éprouvait pas de changements essentiels dans sa forme, de sorte que la corde m devenait tangente quand les points r et n étaient réunis en M. Cela n'a pas lieu quaud le point M est le sommet d'un cône. Si la courbe a est une hyperbole, la ligne A est le système de deux droites, et la corde m devient une droite qui passe par leur intersection ; il n'y a plus de tangente,

181. Lorsque nous avons établi le théorème du plan langent (art. 108,, nous avons considéré une surface comme engendrée par une courbe plane dont le plan restait toujours parallèle à lui-même. Dans ces conditions, si la génératrice n'eprouve ni un changement essentiel dans sa forme, ni un déplacement brusque de

(i) On regarde quelquefois une hyperbole comme -semblable à ses asymptotes. Ces droites sont homologues des points de l'hyperbole situés a l'infini, et le point où elles se croisent correspond à tout le reste de la courbe. Cette manière de voir est fondée sur ce 'que le rapport d'une quantité finie quelconque a l'infini, est le même que celui de zéro a une quantité finie ; on considère aussi un point comme semblable à toute courbe qui n'a pas de branche infinie, mais en réalité la «iiuilitude consiste dans une identité de formes qui n'existe ni entre une courbe et deux droites, ni entre un point et une courbe.

la posilion que l'on considère à la position infiniment voisine, on est assuré qu'en chacun de ses points toutes les tangentes de la surface sont dans un même plan. Mais quand deux génératrices consécutives se coupent à distance finie, la position des tangentes de la surface à leur point de rencontre reste indéterminée, et pour savoir si elles sont toutes dans un même plan, il est nécessaire de considérer la génératrice suivante, et même d'autres encore si celle-ci passe par le point commun aux deux premières.

En considérant le cône comme engendré par une courbe qui se meut en restant dans des plans parallèles, et suivant la loi déterminée» l'article 179, on reconnaît, comme nous l'avons fait à l'article 184), que la génératrice éprouve dans sa forme un changement essentiel quand son plan passe par le centre commun de similitude. Quand on regarde cette surface comme engendrée par une droite dont un point est fixe, on voit que deux génératrices consécutives quelconques se rencontrent. Quelle que soit la définition que l'on adopte, on est donc conduit a rechercher comment .sont disposées les tangentes de la surface au sommet. 11 est facile de voir que ces lignes sont les génératrices rectilignes, et que par suite elles ne sont pas dans un même plan.

Dans les arts on considère souvent des surfaces dont la génératrice est une courbe graphique constante de forme ou qui, à partir d'une position donnée, se modifie suivant une loi déterminée. Les directrices sont aussi quelquefois des courbes graphiques. Quand ces lignes ne présentent pas d'angles, le théorème du plan tangent subsiste, avec les mêmes restrictions que pour les courbes géométriques. Nous avons déjà établi cette proposition pour le cas du cylindre ( art. 115).

Dans le second volume, nous aurons plusieurs occasions de revenir sur le théorème du plan tangent et les exceptions qu'il comporte.

182. Nous allons terminer la question des sections planes d'un cône, en cherchant comment les bras d'une branche infinie sont disposés par rapport à leur asymptote.

Soient Q, Q' \fig. io3) le plan sécant que nous supposons perpendiculaire au plan vertical, et (S, S' ! le sommet d'un cône dont la trace horizontale est la ligne indéfinie GK.

Nous faisons passer par le sommet un plan (AÀ\ A S') parallèle à (Q, Q ) ; sa trace horizontale rencontre la courbe GK en un point A qui appartient a une génératrice (SA, S'A') parallèle au plan sécant. L'asymptote de la branche infinie correspondante est la droite [mn, M'N') intersection du plan donné avec le plan tangent le long de la génératrice qui lui est parallèle.

L'n plan BB', B'S ; passant par le sommet et perpendiculaire au plan vertical, coupe le cône et le plan tangent le long de la génératrice (SA, S'A') suivant les droites qui se projettent sur SB et Sb, et rencontrent le plan [Q, Q j aux points M et m; ce dernier appartient évidemment à l'asymptote.