CHAPITRE IV. — SECTIONS PLAREK DES CÏLIKDRES ET DES CONES

Si l'on conçoit que le point B se rapproche de A en entraînant A. les points M et m s'éloigneront indéfiniment et, par conséquent, la courbe s'étend a l'infini en restant du même côté de l'asymptote. Nous supposons que l'arc BA ne rencontre qu'en A la tangente LA ; on peut toujours prendre le point B assez rapproché de A pour qu'il en soit ainsi.

185. Raisonnant de la même manière pour une génératrice (SC, S'C) située sur le cône de l'autre côté de (SA, S'A'), on arrive a des résultats analogues; mais par suite du croisement qui se fait au sommet S, le point d'intersection N est en deçà de l'asymptote et la branche infinie se compose de deux braB 1M. JN qui sont situés de part et d'autre de celle droite.

Si la trace du cylindre avait été une courbe GAK, ayant une inflexion en A, on eût trouvé, au lieu du point N, le point N, situé de l'autre côlé de l'asymptote, et les deux bras de la branche infinie eussent été d'un même côté de cette droite. Mais, dans ce cas, le plan tangent traverse le cône le long de la génératrice de contact (SA, S'A'), de sorte qu'une section plane quelconque présente une inflexion au point qui appartient à cetle droite, et par suite à l'infini quand son plan lui est parallèle.

Nous pourrions étudier la question en ordre inverse, prendre la courbe à branche infinie pour directrice du cône, et chercher la forme de la trace GK sur le plan horizontal. De quelque manière que nous raisonnions, nous arriverons à celte conséquence que les deux bras d'une branche infinie sont ordinairement de côtés différents de leur asymptote, et qu'ils ne se trouvent d'un même côté que dans un cas exceptionnel, celui où l'on doit regarder qu'un point d'inflexion s'est transporté k l'infini (1).

18t. Ce résultat pouvait être prévu. Si l'on coupe par une droite parallèle à son asymptote une branche infinie disposée comme celles de l'hyperbole, cette sécante aura sur la courbe deux points dont un à l'infini, et si on la transporte parallèlement à elle-même, elle deviendra asymptote quand ces deux points seront réunis. Lorsque les deux bras tels que 1M et J,N, sont d'un même côté de l'asymptote, une sécante parallèle k cette droite peut couper la courbe en deux points à distance finie; s'ils se réunissent au point d'intersection qui est k l'infini, il y a asymptolisme avec inflexion.

Il est facile de voir que deux bras tels que JN et J , N, qui s'étendraient dans la même direction, donneraient un rebroussement k l'infini.

On peut étudier de la même manière la disposition des bras des branches parahotiques, c'est-k-dirc infinies sans asymptote, mais cette question est moins utile.

(1) Deux sections planes d'un même rone sont U projection conique Pune de l'autre. En étudiant la projection conique d'une courbe et d'une de ses tangentes sur un plan convenablement placé, nous i vous pu étudier la disposition des branches infinies des courbes. On emploie souvent ce mode de transformation dans les discussions et les recherches de la Géométrie.