SURFACES DE RÉVOLUTION

Définition et principales propriétés.

ISîi. La surface qu'une courbe plane BC (fig. 10a ) engendre en tournant autour d'une droite AZ contenue dans son plan, est dite de révolution. La droite fixe est l'are de la surface ; la courbe génératrice en est la méridienne ; son plan est le plan méridien.

Quand la méridienne est symétrique par rapport à l'axe, comme un cercle tournant autour de l'un de ses diamètres, il lui suffit d'une demi-révolution pour engendrer toute la surface. Dans le cas contraire, une révolution complète est nécessaire; alors chaque plan passant par l'axe contient deux méridiennes dans des positions symétriques.

I n point quelconque M de la méridienne décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre O est sur l'axe. Ce cercle a reçu le nom de parallèle.

On peut considérer la surface comme engendrée par un cercle mobile soumis aux conditions de rencontrer une courbe bc, d'avoir son centre sur une droite AZ, ci d'être dans un plan perpendiculaire à cette ligne. La directrice bc engendrerait la surface par sa révolution autour de l'axe ; si elle est plane, et si son plan contient l'axe, c'est la méridienne dans une de ses positions.

186. En un point quelconque M de la surface, la tangente MT au parallèle étant perpendiculaire au rayon OM et à l'axe OZ, l'est aussi au plan de ces deux ligues, qui est le plan méridien du point M. Le plan tangent au point M contenant MT sera également perpendiculaire au plan méridien. Ainsi, tout plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien du point de contact.

La normale MN à la surface au point M, étant perpendiculaire au plan langent, se trouve dans le plan méridien, et par conséquent va rencontrer l'axe en un point N.

Si le plan méridien OMN tourne autour de AZ, eu entrainant toutes les lignes qu'il contient, la droite MN engendrera un cône de révolution dont le parallèle sera la base; elle rencontrera donc toujours à angle droit la tangente de ce cercle, et par suite elle sera normale à la surface, car elle l'est déjà à la méridienne dans toutes ses positions. Ainsi les normales à une surface de révolution, aux différents points d'un mfme parallèle, forment un cône de révolution dont le sommet est sur l'are.

187. Quand on veut résoudre des problèmes relatifs à une surface de révolution, on prend l'un des plans de projection perpendiculaire à son axe; c'est générale-