CHAPITRE V. - SCRFACF.S DK ItfiVOLUTIO.N. - CL. XXVIII
ment celui qui* l'on considère comme liori/.onlal. Les deux projections de l'axe sont alors un point 0 el une verticale O'Z ifig. 1 i<>;. On appelle plan méridien principal le plan passant par l'axe et parallèle au plan vertical. La méridienne qu'il contient se projette en vraie grandeur SUT le plan vertical: dans l'épure qui nous occupe, elle se compose de deux courbes identiques G'B'E G' et (',', H', E", (7, symétriquement placées par rapport à l'axe.
188. Proposons-nous de trouver la projection verticale du point de la surface dont la projection horizontale est un point donné m. Si nous supposons que le point cherché se transporte sur son parallèle jusque dans le plan du méridien principal, sa projection m décrira un arc de cercle dont le point O sera le centre, et se placera en « surOB; sa projection verticale se trouvant alors sur la méridienne G E sera nécessairement n' ou ri. Si nous ramenons maintenant le point dans sa position, sa projection verticale se transportera horizontalement en m ou m" en regard du point m.
On eût trouvé les mêmes points m' et m" en transportant le point m sur la projection B, G, de la méridienne inverse.
Si la perpendiculaire à la ligne île terre menée par le point n n'avait pas rencontré la méridienne principale, il n'y aurait pas eu de solution ; il faut donc que le point n soit entre les points G el B, ce cpii nous montre que les parallèles des points G, G'; et 'B, B'j forment le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. En tous les points de ces parallèles la tangente au méridien est verticale, et le plan langent qui la contient est également vertical.
189. Si l'on avait donné la projection verticale m d'un point de la surface, on eut trouvé la projection horizontale par la même construction faite en ordre inverse. Ainsi le point m' aurait été porté sur la méridienne principale en n par une horizontale, puis projeté en « sur GB, et ramené par un arc de cercle en regard de n» en m ou m 0 .
L'horizontale du point m' coupe la méridienne en un second point N' qui fait trouver deux autres solutions M et M 0 .,
On reconnaît facilement que le point m' ne serait la projection d'aucun point de la surface, s'il était au-dessus de l'horizontale G' G, , au-dessous dcE'E',, adroite • de l'arc G'B'E' de la méridienne, ou à gauche de l'arc G', B, E', de la méridienne inverse. On obtient ainsi le concours apparent de la surface sur le plan vertical.
Si le point ni se trouvait dans l'intérieur de l'une des deux méridiennes G'K et G', E', , on n'aurait que deux solutions. Les arcs G'G'E' et G', G, E', ont le caractère de contour apparent pour la partie intérieure de la surface; ils formeraient réellement le contour apparent d'un corps qui serait engendre par la révolution de l'aire G'C'E'rf'a'. En tous les points de la méridienne principale, la tangente du parallèle est perpendiculaire au plan vertical, et le plan tangent qui la contient est également perpendiculaire ii ce plan.
190. Proposons-nous maintenant de construire le plan tangent au point [m, m') •le la surface [fig. i 10).
Pour avoir au point donné la tangente de la méridienne, nous amenons cette courbe dans le plan méridien principal par une rotation autour de l'axe; le point m, m') se place en (n, ri) ; nous pouvons tracer la tangente «'F', et déterminer le point F où elle perce le plan liorizontal. Si la méridienne est ramenée dans sa première position, le point F décrit 1111 arc de cercle autour du point 0 et s'arrête en /, la tangente se meut sur un cône de révolution dont le sommet est au point K de l'axe, et ses projections définitives sont mof, m'Kf; ses traces/ et H' appartiennent aux traces du plan tangent.
Ce plan contient encore la tangente du parallèle, qui est horizontale et perpendiculaire à m/, sa trace horizontale /L est donc aussi perpendiculaire a m/: sa trace verticale est déterminée par les points H' et L.
Pour démontrer la pcrpendicularilé de /L sur fm, on peut dire que 0/ est la projection de la normale à la surface, ou encore que le plan horizontal et le plan tangent étant l'un ci l'autre perpendiculaires au plan méridieu Ont, leur intersection, qui est la trace /L, est perpendiculaire au plan méridien, et par suite à sa trace.
En menant la droite n'R perpendiculaire à ri F, nous déterminerons sur l'axe le point R, sommet du cone formé par les normales à la surface le long du parallèle ' mn, m' ri). La droite R/n'est donc la projection verticale de la normale au point m, m'), et elle doit par suite rencontrer à angle droit la trace H'L du plan langent.
191. En raisonnant comme nous l'avons fait pour le cône à l'article 181, on reconnaît qu'une surface de révolution n'a pas de plan tangent aux points OÙ la méridienne rencontrerait l'axe obliquement, mais en ces points-là seulement.
Au point (m, tri ; \fig. i io) les tangentes au méridien et au parallèle sont de cotés différents de la surface; le plan qui contient toutes les tangentes coupe donc la surface. Nous rencontrerons d'autres exemples de celte disposition, qui conduit à une question intéressante que nous étudierons dans le second volume.
Le plan tangent au point (M, tri) n'aurait que ce point de commun avec la surface.
Sections planes. - [PL XXJX.Jig . lia.}
192. La méridienne est (El), E'D). l'axe (0, 0"Z); Ra et a' H' sont les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien principal aT. Ce plan est notre plan vertical ; mais, pour empêcher les deux projections de se superposer, nous l'éloignons de la longueur aa' avant de le rabattre.
Nous coupons le plan et la surface par une série de plans horizontaux convenablement espacés. Les sections du plan donné sont des droites parallèles à aR, dont on obtient les projections horizontales en ramenant en J3, y, ... les points $','f, ... où
